A Função em Matemáticas

Chama-se função em matemática à aplicação lógica ou fórmula que outorga a cada elemento de um conjunto, um elemento ou valor de outro. E isto é demonstrado por uma pequena seta.

Vejamos 3 exemplos:

Neste caso as setas vão do conjunto A ao B e indicam o número de lados dos seus elementos geométricos, sejam estes lados retos ou curvos.

O conjunto de valores de A sobre ao que se aplica a função chama-se “domínio”.

Neste caso, a aplicação é claramente “multiplicar por 2”. E podíamos encontrar a função inversa que vai do conjunto B ao A, esta função inversa seria “dividir por 2”.

Para que seja uma função, deve sair uma seta, e só uma, de cada elemento do conjunto origem ou A que chegue ao conjunto B, ainda que nem todos os elementos do conjunto B recebam as ditas “setas”. Fazendo o mesmo exemplo 1, mas ampliado, teremos:

Neste caso, não podemos falar de função inversa, pois a alguns elementos do conjunto B, corresponder-lhe-iam 2 ou mais setas. Ao 2, por exemplo, corresponder-lhe-ia a lúnula e a semicircunferência.

Afirma-se que no conjunto de saída ou A está a variável independente, pois os elementos do conjunto B ficam atribuídos e são, portanto, dependentes da aplicação da dita fórmula aos elementos de A.

Esta aplicação lógica ou função pode-se aplicar sobre todos os números naturais, ou os inteiros, ou os irracionais, ou inclusivamente sobre toda a chamada Reta Real dos Números, sobre o seu infinito continuum (ainda que se esta série é contínua ou pontual, um infinito contínuo ou um infinito de valores pontuais é um tema de aceso debate) segundo a chamada “hipótese do continuum”. O conjunto dos valores do conjunto de saída geralmente associa-se a uma reta, a chamada x, e o valor possível de chegada à letra y, segundo Descartes.

A cada valor de x é associado o seu multiplicador por si mesmo, ou seja, o seu quadrado.

Também o conjunto de saída pode ser de uma série de pares sobre os que se aplica a função. Por exemplo:

Aqui x e y são independentes, escolhidos, e o terceiro valor ou z fica definido por eles.

O resultado ou conjunto de valores z formaria neste caso uma superfície chamada paraboloide.

Quando a função seja do tipo:

As funções podem ser contínuas, quando se exercem sobre o domínio de um segmento da Reta Real, e por exemplo, a cada valor x + ∆x (o símbolo ∆ lê-se como “incremente de “) corresponde-lhe um valor de y + ∆y proporcional, de modo que

Mais intuitivamente, uma função é contínua quando a linha no diagrama cartesiano pode ser traçada sem descolar o lápis do papel, ou seja, sem interrupções.Uma função contínua num valor x pode ser derivável quando é possível encontrar a sua reta tangente na sua correspondente y.

Encontramos funções polinómicas, por exemplo

f(x)=q_o+ qx + q₂x² + q₃x³ + … + q_mx^m

Que são continuas em todo o seu domínio.

Destas, por exemplo, as seguintes desenham as chamadas cónicas:

Por exemplo, a hipérbole

Ou a parábola

Ou a elipse

Encontramos funções racionais , quando o seu valor é o quociente entre dois polinómios

Por exemplo

Quando o polinómio do denominador é de grau 1 (ou seja, ax, sendo a uma constante y x a variável) gera uma hipérbole.

Também podemos ter uma função de proporcionalidade inversa.

Neste caso, tanto o domínio como o condomínio são todos os números reais, exceto nas assíntotas x=0 e y=0 ante o denominador nulo que leva a função até ao infinito.

Encontramos também as funções transcendentes, em que para encontrar o valor f(x) não bastam as operações algebraicas (somar, multiplicar, dividir, potenciar) mas também cálculos como as derivadas, integrais, trigonométricos, etc. Por exemplo, a função exponencial y= e^x, ou a logarítmica f(x)= log_a x ou a trigonométrica f(x)= sen x (sobre a que falaremos noutro artigo).

Recordamos que na logarítmica f(x) é o valor da potência de a, para que o resultado seja x. Ou seja, sim por exemplo a^x= b, log_a b = x.

E que o seno de um ângulo α é a razão no triângulo retângulo que gera, entre o cateto oposto e a hipotenusa. Por exemplo

E a gráfica da função seno

Trata-se, pois, de uma função periódica.

A função é contínua quando a curva que a representa está formada por um traço contínuo¹ (sem interrupções, ou sem levantar o lápis do papel), ou seja, no conjunto dos valores (x, f(x))².

A função é derivável quando a função derivada f(x) = dy/dx, ou seja, a função tangente à curva, é também contínua.

A função inversa da derivada é chamada integral e define a área da dita função com respeito ao eixo de x.

Na filosofia da Índia diz-se que se A é a causa de B, toda a variação mínima de A deve produzir uma mudança de B. Isto pode-se expressar:

Esta “caixa negra”, como a de uma fórmula química, é ao mesmo tempo um algoritmo, e uma função, a que estabelece a relação entre as causas (e os seus valores numéricos) e os efeitos (e os seus valores numéricos).

Sabemos assim então, que uma função é um objeto matemático que nos permite expressar a dependência entre duas magnitudes, e portanto, a relação causa-efeito ou vínculo entre ambas.

O que geralmente não pensamos é a importância vital deste conceito filosófico primeiro, o de função, no desenvolvimento da ciência moderna, impensável sem a dita. De facto, quando afirmamos que as leis da natureza estão regidas por números, isto assim é graças às funções. E o conceito de função que estudamos rapidamente na matemática, é vital para tentar medir o dinamismo da Natureza. Leibniz, nos finais do séc. XVIII estabeleceu magistralmente o valor filosófico e matemático do conceito função, que já existia intuitivamente desde Euclides. Todo o edifício da Física Clássica e Moderna repousa nesta ideia, de função, sem ela – desde o estudo da velocidade de um corpo – cai por terra. A Geometria Analítica de Descartes e o estudo das funções, conjugadas, permitiram-nos interceptar corpos orbitais que se movem a muitos quilómetros por segundo, chegar à Lua e a Marte, o estudo do clima com tão assombrosa precisão, o conhecimento (ainda que com muitas interrogações) da hidrodinâmica que permitem a navegação aos nossos barcos e o voo dos nossos aviões, todo o estudo do calor e como obter o poder do mesmo (com o conhecimento da Termodinâmica), o conhecimento do átomo e dos seus interiores, a análise de todos os processos biológicos e económicos, o desenvolvimento de todo o nosso universo elétrico, e da computação, ou os estudos de Óptica e Acústica que nos permitiram amplificar de um modo formidável os nossos sentidos da vista e da audição. O conceito e estudo da Função de Onda e da Análise de Fourier, ainda para mais profundamente filosóficos, permitiram-nos encaminhar-nos até poderes insuspeitados com os que começamos a trabalhar. O estudo das funções iterativas são a chave da nossa Ecologia³ e a sua condição fractal, na chamada “matemática do caos”, abre-nos a porta a novas descobertas nem antes sonhadas. Estas funções iterativas também, como na análise de indivíduos de uma espécie animal ou vegetal, alertaram-nos para as linhas vermelhas que são fatais se ultrapassadas.

No final, a vida em si mesmo é uma função, a função das funções, e dentro de cada um de nós, e de tudo o que existe, vive a sua “função oculta”, uma nova forma, quem sabe, de dizer o seu Nome Secreto, ou o Arquétipo que rege a sua própria existência.

José Carlos Fernández

Almada, 28 de Abril de 2022

Notas:

1. Por exemplo, a função “solo” que vimos num artigo anterior nesta mesma revista não é uma função contínua.
2. Na formulação matemática de fx=f(xo)
3. Veja, por exemplo, “O Nascimento do Caos”. No contexto da biologia, ou seja, a ecologia das populações”, por Hernan C. Doval, um bom resumo pedagógico.