A Lúnula de Hipócrates

Desde o início da matemática, um dos desafios foi encontrar a equivalência entre a área do círculo e a de um quadrado, ou a de um retângulo, ou seja, encontrar a quadratura do círculo.
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Desconhecemos o sentido da afirmação de H.P. Blavatsky, que refere que em outros planos de consciência pode-se enquadrar o círculo. E, o próprio Giordano faz alusões misteriosas, que aparentam ser uma indicação da existência de um limite, como o método de Arquimedes, que torna a superfície do círculo, evidentemente maior do que a de um polígono que circunscreve, e menor do que a de outro, com o mesmo número de lados, em que está inscrito. Ao aumentar o número de lados dos polígonos, cada vez se aproximam do valor deste. Este foi o método tradicional, de um grande esforço de cálculo, até que o grande Newton concebeu um método rápido que é o que hoje ainda permite extrair facilmente, cada vez mais decimais de PI. Os egípcios encontraram valores racionais extremamente próximos, por exemplo, o misterioso e aparentemente sem sentido 13, 17, 171, que deve ser uma alusão à fração egípcia. 1

3+ 1/13 + 1/17 +1/173 = 3.141527…

Porém, não foi até ao ano 1882, que Ferdinando von Lindemann demonstrou a impossibilidade matemática de encontrar o quadrado do círculo pelo método grego do quadrado e do compasso, e que o número Pi é transcendental, ou seja, não é a solução de nenhuma equação algébrica com coeficientes racionais.

No entanto, Hipócrates de Quios (não confundir com Hipócrates de Cós, pai da medicina grega), filósofo pitagórico que viveu por volta de 460 a.C., estabeleceu uma estranha forma de quadratura de círculo.

Este feito não foi o seu único contributo para a Matemática, mas como explica o grande filósofo neoplatónico Proclo, foi o primeiro matemático a escrever alguns Elementos, embora os mais conhecidos sejam mais tarde os de Euclides, e a reduzir o problema da duplicação do cubo (ao qual dedicaremos um artigo) para encontrar dois meios proporcionais sucessivos entre duas magnitudes (Platão diria que este é o único meio de unir o elemento Terra com o elemento Fogo, neste caso os dois meios proporcionais são água e ar sucessivamente).

Com uma demonstração muito simples e elegante, estabeleceu que a Lúnula formada por um quadrado inscrito numa circunferência e a semicircunferência gerada pelo mesmo lado do quadrado (como diâmetro), têm a mesma superfície que uma quarta parte daquele quadrado. O que significa que as quatro lúnulas do quadrado somam a mesma área de superfície que o quadrado próprio quadrado.

Recordemos que, uma Lúnula (semelhante ao termo e figura de uma Lua) é a superfície entre dois arcos de circunferência, quando esta não é convexa. Dos dois, o arco exterior é sempre o de maior longitude.

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O matemático árabe, Alhacen (945-1040), estendeu esta demonstração todos os triângulos rectângulos. As lúnulas formadas pelos catetos (pela semicircunferência que cada um deles traça) e pela circunferência em que estão inscritos, somam à área do referido triângulo, tal como vemos aqui:

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Podemos ver a demonstração aqui:

De acordo com o que Alexandre de Afrodisias e Eudemos expõem, citando Hipócrates, existem vários tipos de Luas em que cuja superfície é possível fazer a quadratura e outras em que não é.

A primeira de que falámos é a gerada pelo quadrado inscrito numa circunferência. Essa sim. A que temos gerada por um hexágono, não é.

Na lúnula gerada por um trapézio de proporção 3∕1 sim é possível a quadratura e a sua superfície é a do mesmo trapézio inscrito. No entanto, na lúnula gerada por um triângulo, não é.

Na lúnula gerada da seguinte forma, é possível a quadratura, sendo equivalente à figura pentagonal sobreposta A,B,C,D,E. A relação DC/AB deve ser para este

No entanto, na próxima lúnula gerada por um hexágono, não é possível a quadratura.

Finalmente, os matemáticos Tchebatorew em 1934 e Dorodnow em 1947 demostraram que existem apenas cinco tipos de lúnulas onde é possível a quadratura, como podemos ver neste artigo:  

https://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm

Se nos lembrarmos de certos elementos de simbologia geométrica, podemos fazer analogias interessantes.

O círculo é um símbolo de unidade (é a primeira forma e mais simples maneira de delimitar um espaço) e, ao mesmo tempo, de transcendência, do infinito, porque não tem início nem fim, e a sua causa invisível está no centro único. Portanto, é um símbolo do espírito puro, que nem nasce nem morre. A sua superfície não pode ser mensurável de forma exata, dada as infinitas casas decimais de pi, unido ao que seja um número transcendental.

O triângulo equilátero representa o fogo, como o elemento primordial, a Mente como Logos, o primeiro polígono que fecha o espaço, num plano. É o Ternário.

O Quadrado representa o que é estável, o que assenta firmemente sobre a terra, na objectivação de cada elemento e de cada processo na Natureza. Representa o quaternário da Personalidade humana, como um filho da Terra, com os seus quatro princípios sujeitos ao tempo, que os desgasta e os desfaz: Etéreo-Físico, Energético, Astral e Mente Inferior (Kama Manas). É o 4.

E embora, neste esquema da Doutrina Secreta de H.P. Blavatsky, a Lua não esteja representada, esta estaria entre o círculo e o triângulo.

A Lua ou Lúnula geométrica é o símbolo de Budhi, a primeira Luz Espiritual, que medeia entre o ser e a sua manifestação, o espelho mágico que faz com que a unidade infinita se converta em Natureza. E aqui, o simbolismo é belíssimo e profundo, porque matematicamente, embora seja filha da circunferência, esta já é dupla, como veículo do ser-unidade, e pode tornar-se “medida”, como se assim estivesse sintonizada com as formas da natureza. Como se esta luz divina ficasse presa na teia de aranha das formas mentais que se projectam no que conhecemos como realidade e que pode ser conhecido. Apenas Cinco tipos de Lúnulas podem ser a “quadratura” que estabelece novamente a ligação entre o 4 e o 5, porque na numerologia sagrada o 5 estabelece a união entre o espiritual e o material juntando-os, uma vez que 5 é a soma do primeiro par e o primeiro ímpar (2+3) e, gera a pirâmide onde se “unem” o triângulo das faces e o quadrado da base.

Ainda mais interessantes, são as Lúnulas de Alhacen, porque são luas de triângulos rectângulos (sempre inscritas na semicircunferência, de acordo com o teorema de Tales), e que são quadraturas “dois a dois”, ou seja, par a par, adicionando as suas áreas, o que nos leva a muitas evocações filosóficas que um dia podemos analisar.

No simbolismo bíblico e kabbalístico, Adão é o primeiro círculo, o Eu, e a Natureza é uma “costela”, isto é, uma lúnula, como uma secção ou espelho deste Ser, isto é, a Natureza, e não só na Bíblia é onde encontramos este mito e simbolismo, porque o hieróglifo egípcio “costela” significa ao mesmo tempo 1/2 e amado(a), no sentido de “meia laranja”. Também vemos estas lúnulas nas stupas budistas em relação à sabedoria que tudo abrange, e como símbolo do Tatva Apas, a Água-Vida em que as Chamas do Espiritual se refletem como num espelho.


Notas:

 1. Veja a excelente série de artigos da Universidade de Buffalo sobre frações egípcias http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_egyptian-fractions.html

2. https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_de_la_l%C3%BAnula

3. Rio Ditto

Imagem de capa:

https://pixabay.com/pt/vectors/noite-claro-lua-estrelas-para%c3%adso-1987407/ Pixabay

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