A Realidade matemática: números primos e estados quânticos

A todos os que já se perguntaram sobre a realidade, poderá alguma vez ter surgido a seguinte questão: podemos chamar real àquilo que apenas pode ser apreendido pela mente, mas não pelos sentidos?

Por exemplo, é real uma linha recta, absolutamente recta, sem princípio nem fim, sem espessura, nem cor, nem matéria, nem luz, nem nada mais a não ser uma trajetória de pontos sem dimensão através do espaço infinito? A linha recta, por não ter matéria nem nenhum outro representante no mundo físico, deixará por isso de ser real?

Inúmeros filósofos, matemáticos, pensadores, e até poetas, já apresentaram as suas teorias, ensaiaram os seus argumentos, debateram as suas demonstrações e, ainda assim, agora mesmo, continuamos a perguntar-nos: o que é real?

Apresentamos aqui uma hipótese – dada a ausência de demonstração universalmente aceite – de que existe um mundo matemático, uma realidade numérica independente do mundo físico. É uma hipótese muito antiga, intuída, para muitos verdadeira, mas que aqui apresentamos sem certezas.

É comum entre grandes matemáticos eles afirmarem que, na sua busca pelas leis matemáticas, se sentem apenas avançar por territórios existentes, descobrindo o que essas novas paisagens têm para mostrar à consciência preparada para ver.

Veja-se, por exemplo, o caso do grande matemático indiano Srinivāsa Rāmānujan (1887-1920) que chegava às suas descobertas – as quais viriam a influenciar várias áreas da matemática – por pura intuição ou inspiração, deixando para depois as demonstrações que as vieram confirmar.

Uma dessas inspirações teve também o matemático Bernhard Riemann (1826-1866) quando apresentou a sua hipótese de que a distribuição dos números primos respeita uma equação chamada função zeta de Riemann. Apesar de já se ter confirmado a validade desta fórmula para os primeiros 10.000.000.000.000 números primos, ainda não se encontrou uma demonstração final para todos os infinitos números primos.

Existe uma diferença importante entre inspiração e demonstração. Uma demonstração é o resultado de um encadeamento lógico de raciocínios matemáticos que fundamentam uma determinada conclusão. A inspiração, ou intuição, na qual o matemático sente ter encontrado uma verdade, surge como uma iluminação espontânea. Quer se esteja distraído, numa situação quotidiana, quer a meio de uma meditação sobre determinado tema, a intuição surge abrupta e inesperadamente, como um clarão, acompanhada de um sentimento de verdade e de certeza. Foi o que aconteceu, entre tantos outros possíveis exemplos, com o físico checo Petr Šeba enquanto andava de autocarro, quando descobriu uma relação entre as previsões de camionistas sobre os tempos entre paragens, e os estados de partículas subatómicas, padrão esse que viria a confirmar-se experimentalmente. É chamado de universalidade, um padrão intermédio entre aleatório e regular (periódico), também evidenciado na equação de Riemann associada aos números primos.

Os números primos, assim são descritos, não seguiriam nenhuma ordem conhecida, não têm ritmo, não são previsíveis nem têm um máximo para o seu valor. Euclides, por volta de 300 a.C., demonstrou que são infinitos. A suposta aleatoriedade dos números primos é uma das usuais garantias de segurança para a construção de algoritmos informáticos de encriptação.

Por outro lado, alguns indícios de regularidade começaram a ser identificados na distribuição dos números primos. Além da já referida universalidade dessa distribuição – que conjuga a aleatoriedade com a regularidade – foi também descoberto, estatisticamente, que as terminações dos números primos seguem uma curva de probabilidade em relação às terminações dos primos seguintes.

Por exemplo, depois de um primo que termina em 9, é 65% mais provável que o seguinte primo termine em 1 do que novamente em 9. Se a sequência fosse estritamente aleatória, a probabilidade estaria uniformemente distribuída pelas terminações 3, 5, 7 e 9. É como se os números primos evitassem repetir-se a si mesmos, e tivessem preferência sobre quais devem ser os primos seguintes.

Talvez possa advir uma certa confusão de conceitos ao referirmo-nos aos primos como aleatórios. Os números primos estão perfeitamente determinados, fixos nas suas posições, inabaláveis nos seus valores numéricos. Depois do número primo 101, sabemos que se seguirá o primo 103. Isso apenas seria aleatório ou ao acaso se em vez do 103 pudesse ser qualquer outro número, mas não é assim. A questão está em saber porquê, ao longo da infinita recta dos números reais, eles estão naquelas posições, que lei, que ordem, que força misteriosa os colocou nos seus devidos lugares.

É comum na ciência hodierna, sempre que se encontra perante um padrão que não se consegue descodificar, ou um comportamento que não se pode explicar, recorrer às ambíguas ideias do acaso e da aleatoriedade para preencher o vazio da nossa ignorância. Acontece isso nas explicações do Big Bang, na evolução do universo, nas suposições das teorias darwinistas, assim como na análise dos números primos.

O acaso e a aleatoriedade são suposições enraizadas na mente daquele que desconhece as leis subjacentes. São os grandes tótemes que vieram substituir as crenças em Deus, no Destino e no sentido profundo da vida e da realidade.

À nossa intuição, parece cada vez mais evidente uma relação profunda entre os números primos (tal como outras relações matemáticas entre os números e a natureza, por exemplo com o número pi ou phi) e a estrutura do mundo físico em que vivemos. Todos os números inteiros naturais, ou são primos, ou são passíveis de ser escritos como o produto de números primos.

Por esse motivo, os números primos são considerados os “átomos” dos números, de tal modo que a partir deles se podem gerar por multiplicação todos os outros. Perguntar porque estão naquelas posições é o mesmo que perguntar porque existe hidrogénio, hélio, lítio, e todos os outros elementos da tabela periódica. Os elementos e as suas propriedades existem de acordo com as leis da física atómica, que por sua vez respeitam as leis matemáticas e geométricas.

De acordo com a física clássica, os sistemas atómicos complexos deveriam expressar comportamentos caóticos, instáveis e imprevisíveis. No entanto, desde a resposta de um átomo de hidrogénio a um campo magnético até às oscilações de grandes núcleos atómicos, que a física clássica não conseguiria prever, a física quântica tem vindo a conseguir entrar no aparente caos e desentranhar a sua ordem escondida. Estes resultados têm advindo da aliança entre os teóricos tanto da física como da matemática, e a ponte entre ambos tem sido, entre outras ferramentas matemáticas, a intuída função zeta de Riemann.

Riemann observou que os zeros daquela fórmula correspondem a resultados precisos na distribuição dos números primos. Por outro lado, os físicos, com base na mesma equação, encontraram uma semelhança com a fórmula traço para o caos quântico, na qual os zeros da função zeta correspondem à duração dos períodos orbitais.

Esta última frase, reconhecemos, requer explicações adicionais.

Como sabemos, os estados possíveis de um dado sistema estão quantizados, ou seja, não podem assumir qualquer valor intermédio. Algo semelhante acontece com os números primos, que assumem valor específicos e fixos, não podendo ser encontrados em qualquer zona intermédia da linha dos números. Dito de outra maneira, aquilo que determina a posição ou valor dos números primos, parece ser o mesmo daquilo que determina a posição ou valor dos estados de um sistema quântico, nomeadamente os níveis energéticos de núcleos atómicos de átomos pesados como o urânio. Os zeros da função zeta de Riemann, quando aplicada a descrever a fórmula de traço do caos quântico, assumem o papel de níveis energéticos, e os números primos (ou, mais precisamente, os seus logaritmos), o papel da duração dos períodos orbitais.

Quando olhamos para os números, ou seja, quando os vemos com o olho interno da nossa mente, para que tipo de realidade estamos a olhar? Onde está a estrutura e a fonte dos padrões matemáticos que modelam tantos comportamentos do mundo físico? Onde estão os números primos e como conseguem eles agir sobre o nosso mundo? Talvez o seguinte relato ajude a pensar sobre estas perguntas.

John e Michael eram dois gémeos autistas cujo passatempo preferido consistia em encontrar, com o único auxílio da sua própria mente, grandes números primos. Oliver Sacks, o neurologista que identificou este estranho comportamento – descrevendo-o no seu livro O homem que confundiu a sua mulher com um chapéu – necessitou recorrer a longas tabelas numéricas para decifrar os números que os gémeos trocavam entre si; também necessitariam dessas tabelas os melhores matemáticos do mundo, se o quisessem decifrar; no entanto, os gémeos autistas apenas necessitavam de um momento de intensa concentração para verificar se um dado número, por maior que fosse, era ou não um número primo. O maior primo que encontraram tinha 22 dígitos.

Como é isto possível? Séculos de investigação matemática, geniais intelectos e vidas inteiras aplicadas ao estudo e ao trabalho matemático, e ainda aparentemente longe de encontrar uma fórmula que preveja o valor para todos os números primos. E dois gémeos, com aquilo que a ciência explica como mais um dos seus “acasos” de mutação genética, aparecem com a faculdade de captar na sua subjetividade um mundo de números inacessível à maior parte dos mortais.

Seguindo a tradição pitagórica, voltamos a recordar as palavras de Pitágoras de que tudo no universo respeita a lei do número. Ao alçar sobre o mundo físico a nossa intuição contactamos com um mundo matemático, cuja realidade apenas é comprovada pela profundidade desse mesmo contacto subjetivo na sensibilidade da nossa mente. Não esperemos demonstrações nem provas cabais para aquilo que requer intuição para ser percebido.

Da mesma maneira que em incontáveis artigos da matemática se encontra a conjetura “se a hipótese de Riemann está correta, então…”, podemos nós conjeturar um outro tipo de hipótese, aquela avançada por Pitágoras e tantos outros sábios: a existência do mundo matemático como realidade existente por si mesma. Se o mundo matemático é uma realidade, ou seja, se faz parte de uma estrutura cósmica invisível e imaterial, prévia a qualquer dos fenómenos físicos, não fará sentido que essa realidade, qual mente cósmica, organize e disponha de toda a realidade material de acordo com leis que respeitam invariavelmente os princípios matemáticos, aritméticos e geométricos?

Não fará sentido, ao invés de pretensiosamente partirmos da assunção de que algo existe no universo que possa surgir por acaso, assumirmos que por trás de tudo o que não compreendemos existe um significado? Não fará sentido que por trás de todo o aparente acaso existe uma causa? Não fará sentido que por trás de todo o caos existe uma ordem ainda inexplicada? Talvez possamos afirmar, se a hipótese de uma realidade matemática estiver correta, que tudo o que é visível e mensurável é apenas uma sombra do invisível e imensurável.

Fontes:

1. Natalie Wolchover. In Mysterious Pattern, Math and Nature Converge.https://www.quantamagazine.org/in-mysterious-pattern-math-and-nature-converge-20130205/

2. Erica Klarreich. Mathematicians Discover Prime Conspiracy. https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-prime-conspiracy-20160313

3. Barry Cipra. Prime Formula Weds Number Theory and Quantum Physics. Science Mag, 20 Dec 1996:Vol. 274, Issue 5295, pp. 2014-2015. https://science.sciencemag.org/content/274/5295/2014/tab-pdf