As Matemáticas na América Pré-Colombiana

Roque Gallo

18 de Abril, 2022

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Vamos tentar apresentar o fantástico mundo das matemáticas antigas, onde o valor fundamental era a mente do homem, sem limitações externas, dependendo unicamente do seu engenho. As matemáticas são a priori, - portanto, não dependem da sua aplicação, mas da genialidade com que são usadas.

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UM ESBOÇO DAS CIÊNCIAS MATEMÁTICAS ENTRE OS POVOS PRÉ-COLOMBIANOS

Se observarmos os diferentes métodos matemáticos que se utilizavam na antiguidade, ficaremos surpreendidos como foi possível os egípcios terem realizado tantas maravilhas com um sistema matemático tão impraticável e tão difícil de utilizar para fazer cálculos. Não é concebível que tal civilização não tivesse outro sistema interno, muito mais pratico e profundo e que fosse conhecido apenas pelos sacerdotes, astrónomos e construtores das pirâmides. Mais tarde, as guerras, o tempo, fizeram perder esses maravilhosos conhecimentos.

Tentar fazer cálculos com os sistemas conhecidos que se usavam na antiguidade, é pouco menos que um exercício de masoquismo ou de amor muito profundo pelas ditas civilizações. Inclusive, os gregos inventaram a Álgebra para poderem avançar nas ciências, mas os romanos e povos afins fizeram verdadeiros milagres para realizarem alguns cálculos aplicados fundamentalmente no comércio e nas construções. Como exercício de vontade e carácter, recomendo que dividam 6744 por 548 com os sistemas antes mencionados e uma pequena multiplicação de 1745 por 698. Deixo de lado outras operações mais complexas, já que é necessário ser um verdadeiro especialista para isso.

Qual era o verdadeiro problema? Muito simples, faltava-lhes um sistema posicional onde com poucos dígitos pudessem fazer todas as operações. Os fenícios chegaram perto, mas não contornaram o sistema, ficou num esboço. Os Orientais, muito práticos, inventaram o Abaco para realizarem as suas operações matemáticas e é, em geral, a partir das invasões mouras a Espanha, as Cruzadas e as viagens de Marco Polo, quando se começa a conhecer uma matemática posicional decimal, aquela que levara centenas de anos a difundir-se pela Europa. É quando conseguem realizar um conjunto de cálculos astronómicos e conhecer, pouco a pouco, o mundo que os rodeava.

Este sistema, embora seja conhecido como árabe, nasce, na verdade, na Índia milenar, em tempos remotos, e são os árabes ilustrados, como civilização poente, que foram os primeiros a compreenderem a importância do sistema.

Os gregos e os romanos, para além de outros povos, tinham um Abaco muito rudimentar que permitia marcar o progresso dos cálculos.

Em qualquer sistema matemático posicional, seja decimal ou não, os números formam-se da seguinte forma: (neste caso, para melhor compreensão utilizaremos a anotação decimal)

Com isto queremos dizer que o número 2.345 está formado da seguinte forma:

2 x 103 + 3×102 + 4 x 101 + 5 x100 ou seja que 2,000 + 300 +40 + 5 = 2.345.

O mesmo número, mas no sistema septenário, seria assim:

6 x 103 + 5 x 102 + 6 x 101 + 0 x 100 = 6.000 +500 + 60 + 0 = 6.560.

E neste caso para a = 0,1,2,3,4,5,6.

Se quisermos fazê-lo num sistema binário, usado pelos computadores, seria assim:

1011 + 108 +105 +103 +100 =100.100.101.001.

Com o mesmo sistema podemos formar os números mayas ou aztecas, tendo em conta que eles usavam unicamente os símbolos: o 1 (.) e o 5 (-).

E assim sucessivamente, pode realizar-se em qualquer sistema.

Convém esclarecer que no sistema binário unicamente se pode utilizar o 0 e o 1, para formar o 2, toma-se o segundo número e o primeiro, ou seja, no sistema binário, o 2 = 10, o 4 = 100, o 8 =1000, etc…

No septenário seria: 0,1,2,3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,16,20,21….66,100,…

Quando se pretende realizar uma transformação de qualquer sistema decimal utiliza-se a seguinte fórmula:

X é a base que se quer transformar

Como se pode observar, o sistema maya-azteca tem um sistema moderno de formação, pelo menos similar ao decimal e ao de computação, só que foi mil anos anterior ao conhecimento europeu.

O sistema posicional maya baseia-se no número 20 e tem fundamentalmente três símbolos; o zero que se simboliza com uma concha marinha, símbolo do nada, do inexistente fisicamente

o uno, símbolo do início das coisas, de Thloque Nahuaque, o que produz ou inicia a manifestação, representado por um ponto (.) e pelo número cinco, símbolo da vida, da corrida atual, representa o homem como centro preceptivo do Universo e a Vénus já que 5 períodos sinódicos coincidem com 8 anos da Terra.

Os seus símbolos religiosos são múltiplos, entre eles, o quincôncio, a Cruz de Quetzalcoat, a mão do destino, etc. Matematicamente é representado com uma barra (-). Outro elemento primordial para as operações matemáticas era o Patolli, o lugar onde se efetuam todos os cálculos e que ao mesmo tempo era um jogo nacional – igual ao Tlachtco ou Tlachtli, o jogo da bola (este também era conhecido como Teotlachtco, quando se jogava em cerimónias religiosas).

O Patolli jogava-se sobre uma esteira pintada com 52 casas, com cores e símbolos divertidos.

Miticamente, são Cipactonal e Oxomoco, a dupla que sobrevive ao dilúvio e que reinicia a evolução humana na Terra são os que inventam o Patolli e o Calendário. (Entre os Mayas e os Quichés conhecem-se por Ixmucané e Ispiyacoc.)

*Figura 1 e 2. O jogo de Patolli tal como demonstram os códices Durán e Magliabecchi.*

Segundo Mena e Jenkins (na sua Educação Intelectual e Física entre os Nahuas e Mayas pré-colombianos), dizem que sobre uma esteira pinta-se um quadrado que é cruzado por diagonais duplas, ficando um quadrado dividido em 4 partes iguais e quatro bandas, cada uma das quais tem doze casas, formando um total de 48, que somadas às quatro centrais, formam as 52 casas antes mencionadas. Em cada uma das bandas há uma tira maior, especial, onde se pintam os quincôncios ou símbolos de Nahui Ollin. Ali jogam-se jogos astronómicos, matemáticos e realizam-se todos os tipos de cálculos. Não vamos aprofundar sobre diversas aplicações que este jogo tem para os nativos do país, mas vamos dar um pequeno esquema geral de como manuseavam as questões matemáticas, tanto do lado Maya como do lado da meseta central ou mexicana.

Começando de baixo para cima, podemos ver que cada um dos quadrados indica com a sua posição, uma potência de 20 e essa potencia é n-1, sendo n a 1ª posição do quadrado.

E assim sucessivamente. O número indicado é o 2.950.471.

Para a denominação dos números, tanto em Maya como em Nahuat, ver o quadro que se anexa no final.

Vamos agora fazer uma pequena soma aleatoriamente, sem saber o seu valor no sistema decimal.

Para somar, juntam-se numa casa do mesmo nível, as barras e os pontos e depois simplifica-se, tendo em conta que por cada 4 barras que se juntem, colocar-se-á um ponto na casa superior e por cada 5 pontos que se juntem numa mesma casa será substituído por uma barra.

Transformado as operações no sistema decimal seria:

13.270.646 mais 55.745.716 = 69.016.362.

As colunas com casas não são imprescindíveis para operações simples. Neste caso, faz-se com um fim didático. Como exemplo, vamos fazer uma subtração, a qual é muito similar à soma, com as variantes de que no minuendo, os pontos e as barras são de cor vermelha e de fazer falta, baixam-se uns ou mais pontos (como 4 barras cada um) no lugar próximo inferior. Por exemplo:

Todo ele, em sistema decimal, seria:

11.417.226 menos 8.544.510 = 2.872.716

Para aquele que domina o método, como o fizeram os aborígenes mesoamericanos, não são necessários todos os detalhes nem conversão de sistemas, porque todas as operações e cálculos eram automáticos, sem, inclusive, ter que saber nada de matemáticas. Apenas precisavam conhecer o mecanismo e ter algo como pedrinhas, feijões ou qualquer objeto redondo e pequenas barras. Normalmente estavam pintados de preto e vermelho para poder fazer subtrações e divisões e, algumas vezes, de cor azul, para marcar os passos intermédios.

Nos monumentos, figuras, códices, construções e em qualquer outra atividade que desenvolveu as civilizações mesoamericanas, denota-se um grande interesse pelas ciências matemáticas, como pela astronomia. Muitos painéis tinham sentido matemático e de calendário, algumas vezes, pouco percetível, devido ao facto de darem uma forma artística e religiosa que escapava à compreensão da mentalidade ocidental.

Para além das operações principais, a multiplicação, podemos ver a simplicidade da técnica usada, recordando que o ocidente, e até mesmo o oriente, apenas depois do século XVI começaram a dar importância aos algoritmos para as quatro operações.

Para aqueles que se interessam em aprofundar o tema, recomenda-se que conheçam os métodos do Renascimento e posteriores, tais como: O Algoritmo de Columbia, o Gemma Frisius (1540), o método retrogrado Hindú, o de Fibonacci, e Fra Luca Paccioli. O de Duplicação e Medição, o scachiero e gelosia (estes para a multiplicação) e o da galera e o adondo entre outros para a divisão.

Para a multiplicação e a divisão, usava-se um tabuleiro quadriculado e tinha-se em conta que as potencias de 20 aumentavam de baixo para cima e da direita para a esquerda. Vejamos um exemplo:

A operação é simples. Os números que estavam sobre cada coluna, multiplicam-se pelos números que estão em um lado e o resultado coloca-se em cada casa. Depois soma-se em diagonal e simplifica-se, passando a parte superior, um ponto por cada quatro barras que houver na imediata inferior. Neste caso, o número 11 multiplicou-se por 6, por 12 e por 5. O resultado foi anotado na casa correspondente e assim foi feito com os restantes. Depois somou-se na diagonal, simplificou-se e obteve-se o resultado que se indica no quadrado da direita:

5 x 200 + 3 x 201 + 4 x 202 + 0 x 203 + 14 x 204 + 3 x 205 = 5 + 60 + 1.600 + 0 + 2.240.000 + ….. + 9,600,000 = 11.841.665

Ou seja, que 4.477 x 2.645 = 11.841.665 como se pode observar, o resultado obtém-se na diagonal principal.

O caso da divisão é similar, só que o dividendo está na diagonal principal e o divisor na parte esquerda. Damos um exemplo em anexo:

Neste caso, o resultado obtém-se na linha superior e o resto, à direita do quadro. Como vemos, o resultado de dividir 1.314.648 entre 1.636 dá-nos 803, com resto 940.

Com sistemas similares podem obter-se raízes quadradas, cúbicas (com dois tabuleiros), matrizes, etc…

Os Mayas (ou seus antepassados) avançaram na descoberta do zero e seu valor posicional em séculos a outras civilizações. Se tivermos em conta que na Europa recentemente se generalizou o sistema árabe-índico no seculo XV, não é de estranhar que tivessem tido um calendário tão exato, nem que as estatísticas do Império Azteca fossem tão detalhadas e exatas. As primeiras estelas que registam este método, retrocedem até ao século VI a.C.

OS NÚMEROS E O PENSAMENTO RELIGIOSO NAHUATL E MAYA: OS NAHUATL

É o caos, o espaço, Tloque Nahuaque, o vazio, o nada

É o Sol Vermelho no amanhecer, XIPE ou a Primavera. A manifestação. É XIUHTECUHTLI, o fogo espiritual.

A primeira dupla criadora, OMETECUHTLI e OMECIHUATL. É QUETZALQUATL como pássaro-serpente, o OMEYOCAN ou Lugar da Dualidade. O céu e o inferno.

A causa e a sua manifestação dual. É a primeira tríade: TLOQUE NAHUAQUE – OMETECUHTLI – OMECIHUATL

Os quatro elementos, os quatro pontos cardiais, os quatro Tezcatlipocas Criadores as Quatro estações. O ser passivo, o feminino, as Quatro raças (sóis) passadas.

O QUINCÔNCIO, a era atual (NAHUI OLLIN), o Homem e o Cosmos, TLAHUIZCALPANTECUTLI (Vénus) nos seus 5 períodos sinódicos equivalentes a 8 períodos terrestres.

A dupla primordial e os Quatro Tezcatlipocas Criadores. As Seis Direções.

Representa a peregrinação Azteca. As 7 Cavernas (CHICOMOZTOC). É o Sol no seu zénite (HUITZILOPOCHTLI).

Conjunção inferior de Vénus, XOLOXTL no seu trânsito nocturno. É QUETZALQUATL no reino da morte (MICTLANTECUTLI).

É a Noite e os seus Deuses Infernais, É o reino de MICTLANTECUTLI. Período de gestação humana (9 lunações sinódicas). A Lua, equivalente ao TUNALPOHUALLI (260 dias).

Associado a TEZCATLIPOCA e à guerra. É Marte. É a parte inferior do homem.

Simbolizava o sacrifício e a noite.

Associado a Vénus e à transformação do Ser.

Baso do TUNALPOHUALLI (Calendário religioso associado a Vénus e à Lua). A Via Láctea. Os Treze Senhores do Céu e do Dia. O TLALOCAN. É o ZODÍACO NAHUA.