Cânones Gregos e Góticos da Proporção

Matila Ghyka, “The Geometry of Art and Life”, cap. VIII

Não examinaremos aqui as teorias obsoletas e pesadas de Viollet-le-Duc e Dehio, mas apenas observaremos que por volta de 1850 Zeysing já havia observado a presença óbvia da Seção Áurea na vista frontal do Partenon.

A pesquisa moderna (nos últimos trinta anos) elaborou três teorias principais sobre os cânones gregos e góticos de proporção, respectivamente expostas pelo americano J. Hambidge,¹ o norueguês F. M. Lund ² e o professor alemão Moessel ³. As três teorias estão a convergir, concordam sobre um ponto principal e, quando combinadas numa síntese, pode-se dizer que fornecem a solução mais provável e a chave para o problema em consideração; depois do que vimos sobre a transmissão do Pentagrama Pitagórico e a importância da Década, não ficaremos surpresos ao descobrir que com toda a probabilidade as intuições de Pacioli e Zeysing estavam certas, e que o segredo da “simetria” grega e depois da composição “harmónica” gótica reside não apenas no uso da analogia (proporção geométrica), mas principalmente na predominância, entre as diferentes analogias possíveis, da analogia por excelência ⁴, a Seção Áurea.

A pista para a manipulação da proporção de acordo com o conceito grego de simetria (Vitrúvio mencionou o conceito, mas cautelosamente absteve-se de explicar a técnica) foi encontrada pelo Sr. Hambidge no Teeteto de Platão, e isso na frase sobre os números que são δυνάμει σύμμετροί ^NT1; significando números irracionais (não comensuráveis) como √5 e ϕ de modo que os quadrados (ou outras superfícies) construídos sobre eles produzem sequências ligadas por proporções comensuráveis (“comensurável no quadrado” sendo a tradução exata da expressão de Platão). A importância do uso dessas proporções irracionais (irracionais na primeira dimensão, mas racionais, comensuráveis, consoantes no quadrado ⁵), e a exatidão da interpretação de Hambidge, são comprovadas pela frase de Vitrúvio aconselhando o uso de proporções “geométricas” (ou seja, irracional, em comparação com as proporções aritméticas, racionais ou alíquotas como √5 e ϕ, etc.⁶) em problemas delicados de simetria, e confirmado pelo muito explícito de Pacioli “che la proporzione si molto più ampia in la quantità continua che in la discreta” (Divina Proportione, lib. II, cap. XX), o discreto ou “estático” ou “simples” simetrias sendo e os seus semelhantes os “contínuos” ou “dinâmicos” sendo √5 e ϕ, etc..

Para elaborar e ilustrar esta noção de simetria dinâmica, J. Hambidge mostrou que as superfícies mensuráveis e comparáveis mais simples, os retângulos (correspondendo incidentalmente aos números figurados “planos” dos gregos), podem ser classificados em duas categorias principais: (a) os retângulos Estáticos, tendo como razões características “aritméticas” frações racionais como (as proporções “discretas” de Pacioli), e (b) os retângulos Dinâmicos, que têm como características relações “geométricas” (irracionais) frações ou números como

Hambidge apontou três fatos: (1) Os retângulos “estáticos” não são úteis para produzir subdivisões e interações “harmónicas” de superfícies. (2) Os retângulos dinâmicos, no entanto, podem produzir as mais variadas e satisfatórias subdivisões e combinações harmónicas (consoantes, relacionadas por simetria), e isso pelo processo muito simples já mencionado no Capítulo II, de desenhar dentro do retângulo escolhido uma diagonal e a perpendicular a ela de um dos dois vértices restantes (dividindo assim a superfície em um retângulo recíproco e seu gnomon, como na Figura 8) e, em seguida, desenhando qualquer rede de paralelas e perpendiculares aos lados e diagonais. Este processo produz automaticamente superfícies correlacionadas pela proporção característica do retângulo inicial ⁷ e também evita (automaticamente novamente) a mistura de temas antagónicos como √2 e √3 ou √5, e √5 e ϕ ao contrário, não são antagónicos, mas consonantes, também com √ϕ, ϕ², etc..

A placa XLVI mostra uma coleção de retângulos “estáticos” e dinâmicos (√2,√3,√4=2,√5). ⁸

As placas XLVII, XLVIII e XLIX mostram subdivisões harmónicas, de acordo com a “simetria dinâmica”, dos retângulos √2, √3, √5 respetivamente (as figuras inferiores da placa XLVIII dão a análise e explicação do diagrama “gótico” da placa LXV, alçado da Duomo de Milão).

A placa L mostra subdivisões harmónicas do retângulo , “atacado” no seu próprio tema ou no tema √5.

J. Hambidge e Dr. Caskey, curador de antiguidades gregas do Museu de Boston, descobriram que a maioria dos vasos gregos dos grandes períodos (como os das placas LI, LII e LIII), alfaias rituais gregas (potes de sacrifício como aquela na Placa LIV, espelhos de bronze como o da Placa LV) poderiam ter o seu desenho e proporções analisados através de uma combinação “harmónica” de retângulos dinâmicos. Mas embora, na classificação do Sr. Hambidge, os rácios √2 e √5 sejam temas “dinâmicos”, são encontrados muito mais raramente ⁹ do que os rácios √5 ou ϕ (e o quadrado “tratado” por √5 ou ϕ).

A razão é que as modulações harmónicas permitidas pelo primeiro √2 e √3 são muito mais limitadas do que as produzidas pelos temas √5 e ϕ que, estando relacionadas, podem ser combinadas de infinitas maneiras (também com o quadrado e o quadrado duplo).

Essas mesmas combinações de retângulos √5 e ϕ que, estando relacionadas, podem ser combinadas de infinitas maneiras (também com o quadrado e o quadrado duplo).

Essas mesmas combinações de retângulos √5 e ϕ também foram encontradas nas centenas de esqueletos humanos examinados pelo Sr. Hambidge, o retângulo (dois retângulos √5 horizontais sobrepostos) sendo primordiais, especialmente como quadro geral, os retângulos conectados

aparecendo nas subdivisões anatómicas separadas; os mesmos retângulos aparecem nas subdivisões harmónicas dos vasos gregos.¹¹ Não nos surpreenderemos ao descobrir que, ao retomar os planos dos templos gregos, Hambidge descobriu aqui também os retângulos √5 e ϕ (a placa LVII mostra a análise de Hambidge da fachada do Partenon; o plano horizontal para o mesmo com a frente em escala é mostrado na Figura 63. Zeysing já havia notado que era a razão fundamental para esta fachada,

Não podemos entrar aqui em todos os detalhes da ilustração de Hambidge da “simetria dinâmica” grega como esboçada acima; podemos apenas afirmar que dá uma chave plausível, e também um novo método de composição harmónica, amplamente utilizado agora (como mostrado no próximo capítulo) por arquitetos, pintores, ourives, em todo o mundo. Na placa LVIII dou uma aplicação interessante deste método ao túmulo de Ramsés IV, cuja planta é dada à escala no “Papiro de Ramsés” do Museu de Turim; a conexão entre os três retângulos internos é notável, pois o menor é quadrado duplo, o intermédio um retângulo , o envolvente composto por dois retângulos iguais ao intermédio, mas perpendicular a ele (as figuras menores na parte inferior da placa mostram diagramas de mobiliário egípcio.)

Mas a teoria de Hambidge, por mais interessante que seja, não se aplica a todos os casos, especialmente não aos planos góticos, onde, como veremos, um círculo é geralmente a figura controladora. O próximo sistema, que tentou especialmente descobrir a chave dos cânones góticos de proporção, é o de F. M. Lund. Ele encontrou, independentemente de Hambidge, os mesmos e outros indícios da importância da Seção Áurea nas tradições arquitetónicas gregas e romanas (no sarcófago de um arquiteto romano, reproduzido na Inconographie Chrétienne de Didron, está claramente gravado, ao lado de um quadrado, uma regra dividida em quatro partes formando uma rigorosa progressão descendente; numa pedra esculpida no Museu de Nápoles está gravado o “Sublime” Triângulo Isósceles do Pentagrama, subdividido no triângulo semelhante menor e o seu “gnomon”, etc. ); e tentou explicar os planos das igrejas e catedrais góticas (Beauvais, Colónia, Reims, Notre-Dame, etc.) enxertando diretamente nas naves retangulares pentágonos ou pentagramas, cujos centros coincidem com pontos “focais” como centro da figura da abside, ou do altar. Os seus diagramas estelares são belas aproximações (nalguns casos bastante rigorosas); reproduzo na Figura 64 um dos seus diagramas mostrando um corte vertical através de uma catedral gótica do tipo Colónia, na qual a largura da nave e a dos pilares são conectadas por círculos e pentagramas interligados.

Mas foi reservado ao professor Moessel (um arquiteto de Munique) construir, independentemente dos dois citados pioneiros, uma teoria e uma síntese completamente satisfatórias, e apontar a maneira mais provável pela qual, começando já nos tempos egípcios os planos dos monumentos importantes de cada grande período ou estilo de arquitetura foram executados de acordo com uma “simetria dinâmica” muito sutil e racional, na qual as propriedades especiais da Seção Áurea foram usadas para obter a “eurritmia” mais flexível e variada.

Tendo decidido que o problema da proporção dominava todos os outros no campo da arquitetura, o professor Moessel passou parte da sua vida medindo ou verificando as dimensões (comprimentos, superfícies, volumes) de todos os estilos egípcios, gregos, romanizados e góticos, edifícios dos quais possuímos planos precisos. Ele não partiu de nenhuma teoria a priori; mas da comparação dessas centenas de diagramas emergiram gradualmente analogias, semelhanças e até identidades impressionantes; entre os milhares de rácios numéricos assim expressos, certos números eram sempre recorrentes, também as suas potencias, e progressões ordenadas dessas potencias.

As formas geométricas podiam ser todas reduzidas, tanto para os planos horizontais como para as fachadas ou cortes verticais, à inscrição dentro de um círculo, ou vários círculos concêntricos, de um ou vários polígonos regulares. No plano horizontal, esse círculo diretor às vezes era dividido em 4, 8 ou 16 partes iguais, mais frequentemente pela divisão mais sutil em 10 ou 5 partes. Esse círculo de controlo parecia ser a transposição direta no plano do círculo de orientação do edifício traçado primeiro no próprio terreno, suposição de acordo com a importância religiosa atribuída à orientação dos templos por egípcios, gregos e romanos. Vitrúvio descreve muito claramente a maneira como a linha Norte-Sul foi colocada no círculo de orientação, marcando a direção do comprimento mínimo da sombra de um poste vertical erguido no centro do círculo (meio-dia verdadeiro e sul verdadeiro); o traçado de uma direção perpendicular, na verdade de qualquer ângulo reto, foi obtido, como vimos (Capítulo III), usando uma corda contínua dividida por nós em 3+4+5 = 12 partes iguais. ¹²

A divisão predominante do círculo controlador em 5 ou 10, ou 20 partes (que introduziu automaticamente o tema da Seção Áurea) prova que os arquitetos gregos estavam na posse do segredo pitagórico da construção de um pentágono inscrito num determinado círculo; os egípcios parecem ter usado uma aproximação prática, fibonacciana, como a observada por Kleppisch e Jarolimek no triângulo metade-meridiano da Grande Pirâmide (onde 55, 70, 89 dão os lados, no rácio de , de um triângulo aproximado de Price; temos 55² + 70² = 7925, 89² = 7921, e uma aproximação muito próxima de ϕ).

O professor Moessel pôde assim classificar os diagramas de controle de quase todos os edifícios analisados por ele de acordo com um pequeno número de tipos específicos com base no que ele chama de “pulmão de Kreistein”, ou subdivisão polar do círculo diretor, tanto para elevações quanto para para os planos horizontais, os elementos e conjuntos de ambas as projeções são colocados para cada caso no mesmo diagrama, e ligados por cadeias de proporções que, no caso dos planos góticos especialmente, têm como “Leitmotiv” os temas conhecidos do Grupo da Seção Áurea. A Placa LIX fornece os dois diagramas específicos que controlam a maioria das igrejas ou catedrais góticas padrão, ambos podem ser “configurados” no fundamental ou Diagrama Mestre (Placa XLIII) dado no Capítulo VII.

A placa LX mostra, sob a planta e alçado muito simples de um templo egípcio (onde o círculo de orientação é dividido em 10 partes) uma confirmação impressionante da teoria “Kreisteilung” do professor Moessel, conforme dada pela fachada do túmulo rochoso de Mira (a figura é retirada de Perrot e Chippiez, o círculo e o pentágono colocados pelo professor Moessel ¹³). Vemos que as soluções do professor Moessel combinam (sem qualquer conhecimento prévio das suas teorias) os diagramas estrelados de Lund com os retângulos dinâmicos de Hambidge, e estão também em harmonia com as alusões enigmáticas nos documentos Bauhütte do círculo e pólo.Nas placas LXI, LXII e LXIII são apresentadas as análises de D. Wiener das plantas em escala de três edifícios romanos: ¹⁴ o pequeno templo de Minerva Medica (chamado templo de Vesta), o Panteão e San-Stefano Rotondo; eles ilustram essa interação de “Kreisteilung” e retângulos dinâmicos (o templo de Minerva Medica é dividido em 20 segmentos por 4 pentágonos); as subdivisões “dinâmicas” simples de San-Stefano e Panteão são ilustradas na Placa LXIV. A placa LXV mostra sem qualquer acréscimo um dos raros planos góticos existentes; é o alçado da Duomo de Milão publicada em 1521 (na sua edição Como de Vitrúvio) por César Cesariano, Mestre Arquiteto encarregado da Duomo. Não só o círculo diretor e a sua função são claramente mostrados, mas na frase latina em cima aparece o centro do círculo, também as palavras simetria e eurritmia (o plano é aqui guiado por uma simetria 3, como mostrado nos diagramas condensados em parte inferior da Placa XLVIII ¹⁵).Com o primeiro Renascimento, a técnica da simetria, até então ciosamente oculta, deixou de ser secreta; a própria “Seção Áurea” ou “Proporção Divina” foi glorificada no livro de Pacioli, e a “Ciência do Espaço” foi abertamente retomada e exposta (Piero della Francesca, Alberti, Dürer), enquanto o renascimento do neoplatonismo (“Academias” Platónicas em Florença ¹⁶ e Roma) contribuíram para popularizar a conceção platónica, sinfónica, de Proporção, Ritmo e Beleza.

Não temos espaço aqui para examinar o papel da composição harmónica em linhas semelhantes manifestadas nas obras dos pintores renascentistas familiarizados com as ideias de Pacioli e Alberti. Os testes de Hambidge e Moessel foram aqui igualmente aplicados com sucesso; Reproduzirei na Placa LXVI apenas uma análise do Dr. Funk-Hellet de uma Leda de Leonardo (dois retângulos horizontais sobrepostos). Mas um resultado inesperado da descoberta dessa técnica há muito oculta da Simetria Dinâmica foi que depois de quase cento e cinquenta anos os seus ensinamentos tornaram-se mecanizados numa fixação estéril nas “Ordens”, e um completo mal-entendido de Vitrúvio baseado no uso erróneo de módulos estáticos, aritméticos. O próprio significado da palavra “simetria” foi esquecido e substituído pelo moderno.

Foi em França que essa fossilização académica desenvolveu os seus piores sintomas. O papel da Geometria, o próprio conceito de composição ordenada, foi atacado, e um manifesto da escola a-geométrica foi lançado por Perrault na seguinte explosão:

“As razões que nos fazem admirar as belas obras de arte não têm outro fundamento senão o acaso e o capricho dos trabalhadores, pois estes não procuraram razões para fixar a forma das coisas, cuja precisão não importa.”

Mas Palladio, Christopher Wren, os irmãos Adams e Gabriel pensavam de outra forma, assim como os muito científicos arquitetos barrocos da Itália, Espanha e sul da Alemanha, que incorporaram a elipse e a espiral logarítmica nos projetos dos seus “teatros metafísicos”.

Aliás, a teoria da “Kreisteilung”, o importante papel do círculo e do pólo no “Heimlichkeiten” ou simbolismo secreto da Bauhütte, nas marcas dos pedreiros, etc. Embora nossas informações sobre eles sejam muito escassas, sabemos (cf. o livro de Victor Magnien sobre o assunto) que em Elêusis o terceiro grau de iniciação (ou iniciação holoclere) também era chamado de “O Mistério do Círculo”, e que uma figura circular desenhada no chão era um elemento do ritual.

Basta lembrar a imensa rosa, círculo preenchido pelo exército branco dos bem-aventurados, no qual, ao final da “Divina Comédia”, Dante vê Beatriz ocupar o seu exaltado lugar e enviar-lhe o seu último sorriso; também os diagramas circulares, unindo Macrocosmos e Microcosmos, dos místicos do século XII Santa Hildegard ¹⁸ e Herrade de Landsberg; mas, para chegar ao nosso tempo, encontramos mencionado, nos estudos do Dr. Jung sobre os símbolos gráficos aos quais a mente subconsciente é mais responsiva, a ação relaxante quase mágica de certos diagramas circulares (“o símbolo que funciona magicamente é necessário, contendo aquela analogia primitiva que fala ao inconsciente na sua própria linguagem… e cujo objetivo é unir a singularidade da consciência contemporânea com o passado mais antigo da vida”). Jung chama-os de símbolos-mandala devido à sua analogia com as mandalas circulares Tibetanas. A seita budista Shingon no Japão usa padrões abstratos circulares semelhantes como “ressoadores” espirituais para avançar no progresso da meditação.

O Dr. Jung reproduz vários desses símbolos circulares no seu comentário ao “The Secret of the Golden Flower”; os diagramas fundamentais do Professor Moessel (Placas XLIII e LIX) os diagramas da Grande Pirâmide (Placas XVI e XVII), apesar do seu significado geométrico preciso (ou talvez por causa dele), não parecem deslocados nesta coleção.

Para voltar ao nosso assunto, podemos resumir este capítulo afirmando que em todos os grandes períodos da Arte Ocidental o conhecimento e uso da Simetria no seu antigo significado foram a mola principal da composição “sinfónica”, e que entre as proporções que, em conformidade com o Princípio de Analogia de Thiersch, produziram a recorrência e a consonância de formas semelhantes (“a impressão tranquilizadora dada por aquilo que permanece semelhante a si mesmo na diversidade da evolução”, como a recorrência da chave tónica na melodia) a Seção Dourada parece ter sido primordial.

Vimos que isto era igualmente verdadeiro na biologia; existe uma Geometria da Arte como existe uma Geometria da Vida, e, como os gregos haviam adivinhado, elas são a mesma.

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Notas

1. Dynamic Symmetry, também a revisão Diagonal publicada pela Yale University Press, e Geometria do vaso grego do Dr. Caskey.

2. Ad Quadratum, nas edições inglesa (Batsford) e francesa (A. Morancé). Também Ad Quadratum II, em norueguês.

3. Die Proportion in Antike und Mittelalter (C. H. Beck ed., Munique) e outras obras.

4. Proclo (410-483 dC) escreve: “Eudoxo de Cnidos… um associado da escola de Platão,… às 3 proporções acrescentou outras três… e aumentou o número de teoremas sobre a seção (htepi tiv touny) que tiveram sua origem com Platão” (Sobre Euclides). Bretschneider identifica – ý tour com a Seção Áurea (que em alemão também é chamada de proporção contínua, die stetige Proportion).

5. Dois retângulos, cujas dimensões lineares estariam na razão √a, teriam suas superfícies na razão a.

NT1.  potencialmente simétricos

6. “As delicadas questões relativas à simetria são resolvidas por razões e métodos geométricos” (Difficilesque symmetriarum quaestiones geometricis rationibus et methodis inveniuntur).

7. É claro que um retângulo dinâmico de módulo ou razão característica m=√n (n sendo um inteiro) sempre pode ser dividido em n retângulos menores semelhantes a si mesmo dividindo os lados longos em n segmentos iguais e unindo os pontos correspondentes; o módulo de cada um dos retângulos pequenos será inverso de, mas similar a √n

É uma convenção útil para tomar como rácio característico de um retângulo o rácio entre o lado horizontal e o lado vertical; então um rácio  característico  m > 1 significa que o retângulo é definido horizontalmente; se m < 1, o retângulo é vertical. Quando m é expresso em frações decimais, e os lados verticais são iguais e seu comprimento tomado como unidade, o módulo do retângulo maior formado pelos menores justapostos é igual à soma de seus módulos.

8. Repetimos que o quadrado (√1 = 1) e o quadrado duplo (√4 = 2) podem ser usados indiferentemente como retângulos estáticos ou dinâmicos; o quadrado presta-se a um número indefinido de decomposições harmónicas (Placa LVI) nos temas ϕ ou √5 (tem uma simetria universal e pode ser “atacado” em qualquer tema); o quadrado duplo, claro, tendo como diagonal √5 está diretamente relacionado aos retângulos √5 e ϕ.

 Mas o quadrado está ainda mais próximo do retângulo ϕ sendo seu “gnomon”.

9. Vimos que essas simetrias (√2 e √3) estão especialmente conectadas com redes cristalinas

10. Também

11. Dos 120 vasos gregos do Museu de Boston que podem ser submetidos a uma análise “dinâmica”, dezoito são baseados no tema √2 (seis tendo como moldura geral o próprio retângulo √2 1,4142), seis no tema √3 (três tendo como moldura o retângulo √3 todos os restantes sobre temas relacionados com ϕ ou √5.

12. Este método utilizou assim o teorema de Pitágoras para o caso particular 3²+4² = 5². Os gregos, como se vê numa passagem de Demócrito de Abdera (450-360 aC, o primeiro filósofo que parece ter usado as expressões Macrocosmos e Microcosmos), tomou de empréstimo este método dos “arpedonaptos” egípcios ou agrimensores rituais; Pitágoras generalizou este caso especial no teorema aplicável a todos os triângulos retângulos. Pacioli chama esse teorema de “a descoberta das proporções do ângulo reto”, e especifica que os pitagóricos chamavam o ângulo reto de “ângulo de equidade”

13. Die Proportion in Antike und Mittelalter.

14. A teoria “Kreisteilung” também é confirmada pela menção de Vitruvius ao planeamento clássico dos teatros gregos – 3 quadrados inscritos no círculo controlador – e teatros romanos – triângulos equiláteros no círculo.

15. O professor Moessel observou que: “as subdivisões específicas do círculo e os rácios numéricas que são as suas características aparecem nas projeções planas dos sólidos regulares inscritos na esfera, tetraedro, octaedro, cubo, dodecaedro e icosaedro”. Eu ilustrei este importante fato nas placas XVI, XVII, XXXVI e XL (Grande Pirâmide, rosto humano, corpo humano).

16. A Academia Platónica Florentina foi fundada em 1459 por Cosimo de  Medici sob a direção de Marsilio Ficino.

17. O Sheldonian Theatre em Oxford mostra uma rigorosa modulação vertical na proporção da Seção Áurea. O mesmo acontece com o Hotel de Crillon de Gabriel.
18. Scivias et Liver divinorum operum simplicis hominis.

Imagem de capa:

Chacana de Jujuy

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