Cónicas: conceito Matemático e Filosófico

Para o exercício de Oratória, esta abordagem cingiu-se à parábola, no entanto, e reconhecendo o manancial de riquíssima informação disposta no livro “Viagem Iniciática de Hipátia: Na Demanda da Alma dos Números”, optou-se por explorar todas as cónicas, relacionando o seu conceito matemático com o respetivo conceito filosófico. Por isso, pretende-se ingressar numa viagem pelas diferentes cónicas mostrando o seu lado matemático e sublinhado o seu carácter mais filosófico, permitindo-nos olhar de uma forma renovada para elas, para nós e para a Vida. 

Neste primeiro texto, trataremos de fazer um pequeno enquadramento da temática, esperando que todos os interessados consigam compreender o que é uma cónica filosófica e matematicamente falando. Nos textos subsequentes, abordaremos cada uma das cónicas de forma individual, cuidando dos dois aspetos em análise: matemática e filosofia.

No final desta sequência de textos, esperamos que os leitores tenham adquirido um novo gosto pelas cónicas e consigam fazer uso destas para a sua Vida, reconhecendo que utilizando-se da linguagem matemática para dar uma resposta harmoniosa às diferentes situações com que todos somos confrontados, conseguimos ser cada vez mais nós próprios e cada vez mais humanos; como aliás transparece na página 258 do livro “Viagem Iniciática de Hipátia: Na Demanda da Alma dos Números” (1.ª edição – janeiro 2010):

…as Cónicas. Curvas que são a chave para entender o ritmo evolutivo da alma da natureza e também o do crescimento e decadência dos seus organismos, assim como o equilíbrio dinâmico das forças de atração e repulsão, das energias criadoras e destruidoras.

Introdução às Cónicas

A Matemática é uma ciência de padrões e regularidades que procura através do seu estudo estabelecer leis/regras a que damos nomes de axiomas, postulados, teoremas, etc. Dentro desta ciência, existem diferentes campos cujos objetos de estudo dependem daquilo que está a ser observado e, por isso, conseguimos muitas vezes, enquadrar um objeto em diferentes áreas matemáticas.

De uma forma geral¹, conseguimos dividir em cinco grandes grupos:

Na verdade, esta divisão é meramente organizativa e estrutural uma vez que possibilita o entendimento de diferentes aspetos em estudo. Contudo, é relevante assinalar que todos estes campos se interrelacionam e estão dependentes, sendo, por isso mesmo, muito ténues as linhas que delimitam cada um deles.

Este pequeno prólogo serve precisamente para enquadrar as cónicas ao leitor sobre os dois campos matemáticos: um mais geométrico – como o próprio nome denuncia, provêm dos cones – e um outro mais relacionado com as funções; sendo que a permear ambos estão fortemente presentes a álgebra e a lógica. Logo, para cada uma das cónicas, pretende-se explorar o conceito matemático nas suas diferentes vertentes.

Chega, portanto, o momento de definir o que são as cónicas!

As cónicas ou secções cónicas são curvas que resultam de uma interseção de um plano qualquer com um cone de revolução². Por outras palavras é como se estivéssemos a “fatiar” um cone ou dois cones com os vértices justapostos (os cones estariam “empilhados”) e cada uma dessas “fatias” seria uma cónica/secção cónica. A imagem seguinte ilustra bastante bem aquilo que são as cónicas e como elas são obtidas:

Esta visão geométrica das cónicas pode ser traduzida algebricamente utilizando-nos de distâncias entre pontos e/ou entre pontos e retas. Uma maior clarificação desta questão surgirá para cada cónica, juntamente com o conceito geométrico, contudo interessa notar que para definir qualquer cónica vamo-nos utilizar sempre de duas distâncias. À razão entre essas duas distâncias fixas, damos o nome de excentricidade da cónica ou simplesmente excentricidade.

Façamos aqui uma pequena paragem só para consultarmos o dicionário e verificarmos o que consta acerca de excentricidade: originalidade; que difere do normal; irregularidade. Ora, esta definição torna-se muito útil quando entendemos o respetivo conceito matemático: de uma forma mais prosaica, podemos dizer que a excentricidade é o parâmetro que nos dá informação em relação ao “desvio” que determinada cónica fez daquilo que é uma circunferência; quase que como se a circunferência fosse o ponto de partida das restantes cónicas, fosse o normal, o original. Não deixa de ser curioso observar que, filosoficamente, o círculo é o símbolo da Unidade, do Uno sem Segundo, então este conceito da excentricidade quer quantificar o “desvio” da Unidade, realizado por cada curva.

Assim, quando queremos identificar que tipo de cónica temos, basta realizar o quociente³ das distâncias convenientemente definidas e conseguimos classificar cada uma das quatro cónicas, segundo a seguinte categorização:

Interessa, também, mencionar que as cónicas apresentam uma dimensão mais algébrica e, por isso mesmo, podemos definir uma equação geral com o seguinte aspeto:

Ax² + Bxy + Cy²+ Dx + Ey + F = 0

onde, A, B, C, D, E e F são constantes reais – A, B e C não podem ser todos zero simultaneamente⁴ – e, as suas variações permitem-nos obter as diferentes secções cónicas:

• se B² – 4AC < 0 e B = 0 e A = C, temos uma circunferência;
• se B² – 4AC < 0 e B ≠ 0 ou A ≠ C, temos uma elipse;
• se B² – 4AC = 0, temos uma parábola;
• se B² – 4AC > 0, temos uma hipérbole.

Ou, de uma forma mais simples e considerando o B=0, temos:

• se A = C ≠ 0, temos uma circunferência;
• se A ≠ C e AC > 0, temos uma elipse;
• se A = 0 ou C = 0, mas não os dois simultaneamente zero, temos uma parábola;
• se AC < 0, temos uma hipérbole.

Por agora, apresenta-se de uma forma mais geral esta família de secções cónicas, no entanto, para cada uma delas, trataremos de explorar com o cuidado devido cada um destes aspetos, especificando e justificando por meio de cálculos as categorizações aqui presentes.

No próximo texto, começaremos a exploração cónica a cónica e iniciamos com o estudo matemático e filosófico da parábola. Vamos ver como esta curva tem tanto para nos ensinar acerca da nossa vida, tanto de uma forma mais física como mais metafísica.

Notas

1. Para uma divisão mais detalhada, o vídeo seguinte é extremamente contributivo: https://youtu.be/OmJ-4B-mS-Y ↩︎
2. Para mais informações sobre o cone de revolução, consultar: https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Cone_de_revolu%C3%A7%C3%A3o ↩︎
3. Note-se que uma vez que se trata de um quociente entre duas distâncias, este tem de ser sempre maior ou igual a zero. Conforme vamos tendo as diferentes cónicas, temos diferentes numeradores e denominadores que trazem as variações que se apresentam na tabela. ↩︎
4. Caso isto acontecesse, teríamos uma equação linear, todos os coeficientes com termos de grau igual ou inferior a um. ↩︎

Bibliografia

Sites Consultados:

• https://gigazine.net/gsc_news/en/20180331-infographics-mathematics/
• https://matheducators.stackexchange.com/questions/18358/looking-for-a-hierarchy-of-math-subjects
• https://www.shmoop.com/conics/eccentricity-help.html
• https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Cone_de_revolu%C3%A7%C3%A3o

Livros:

• Viagem Iniciática de Hipátia: Na Demanda da Alma dos Números, do professor José Carlos Fernández.

Artigos e Teses:

• https://kids.britannica.com/students/article/conic-section/310806;
• Identificação das Cônicas, de Aldo Brito de Jesus, Vitória da Conquista, 21 de fevereiro de 2018.

Vídeos:

• https://youtu.be/OmJ-4B-mS-Y
• https://www.youtube.com/watch?v=auD46ZWZxQo