Geometria Projetiva

I. GEOMETRIA EUCLIDIANA – GEOMETRIA PROJETIVA: UMA COMPARAÇÃO

Cada forma toma a sua origem do movimento. Até o corpo humano toma a sua origem a partir de um fluxo de líquidos vitais no início do período embrionário. O corpo ósseo sólido é apenas a nota final do desenvolvimento humano na Terra. Cada processo de encarnação significa basicamente uma descida gradual à corporalidade, que é necessária para se integrar nas três dimensões da Terra. A geometria Euclidiana lida exclusivamente com este processo de assumir formas sólidas, que permanecem fixas e inflexíveis. Baseiam-se estritamente na métrica, o que significa que a medida e a mensurabilidade desempenham o papel mais importante neste tipo de geometria, enquanto a geometria projetiva visa considerar não só o produto acabado, mas também o processo em curso. É preciso ver para além do exame das formas concluídas, a fim de se conseguir uma compreensão da metamorfose geométrica, pela qual as formas existentes são transformadas noutra sem perder as suas características. Desta forma pode compreender a qualidade da forma no seu desenvolvimento muito antes que esta forma assuma uma forma fixa no espaço que pode então ser expressa em medição. Por fim, a geometria projetiva também chega a uma compreensão individual das formas concluídas do espaço físico, mas não parte destas formas. Na verdade, começa a partir de uma polaridade, em que o aspeto físico do espaço é apenas um lado que é oposto pelo lado etéreo. A partir desta afirmação pode ver-se que a geometria Euclidiana e a geometria projetiva não se excluem mutuamente, uma vez que a geometria projetiva deve ser entendida como um todo, enquanto todos os sistemas métricos têm sempre em consideração apenas a parte mensurável sem uma visão do todo. Arthur Cayley (1821-1895) fez uma famosa observação sobre este facto: “A Geometria Projectiva é toda a Geometria”.

II. PRINCIPAIS REFLEXÕES SOBRE GEOMETRIA PROJETIVA

1. A questão do infinito

Euclides concluiu o seu sistema com o seu quinto postulado em linhas paralelas de tal forma que qualquer extensão por elementos infinitos parecia ser impossível. Mas este é o facto que tornou o seu sistema demasiado estreito. Na geometria projetiva não se faz a diferença entre duas intersecções e duas linhas paralelas, mas assume-se que duas linhas retas num plano têm sempre um ponto de intersecção. Sem lidar com este problema em mais detalhes, gostaria de salientar a seguinte definição da geometria projetiva:

1) “Duas linhas retas de um plano têm sempre um ponto de intersecção.” (Em caso de paralelismo um ponto de distância comum.) (ver figura 1) 

2) “Dois planos têm sempre uma linha de intersecção.” (No caso do paralelismo, a sua linha de distância comum.)  

3) “Todos os pontos de distância e linhas de distância estão num plano de distância.” (De acordo com a geometria projetiva este plano infinito é uma conceção clara. Cayley chamou-lhe o absoluto do mundo.)

No que diz respeito à figura 2: Pode ver-se que forma o plano E é a própria base de toda a forma f. Os elementos modificadores individuais – pontos, linhas e planos – estão harmoniosamente ligados e cada um dos atributos no seu lugar à criação de toda a forma. Se apenas um elemento for deslocado, a figura será diferente. A ideia primordial desta forma contém uma grande escala de variações mostradas externamente por uma gama de diferentes formas. Também pode imaginar-se a maneira como a forma mudará se, por exemplo, o plano primitivo for colocado em movimento. Podemos deixar deslizar este plano estrutural pela distância infinita até que se torne o plano distante do Espaço. Neste preciso momento, porém, em que o plano primitivo estrutural se está a tornar o plano infinito, que Euclides não percebeu, a “forma cristalina” moldada por este plano infinito ocupa as qualidades métricas características do mundo mensurável: as suas áreas e arestas tornam-se paralelas (ver fig. 3). Desta forma, pode experimentar-se o processo das formas que se tornam mensuráveis no mundo material pela radiação e entrelaçamento de planos e linhas nascidos na “distância infinita” do espaço. O plano infinito não é percetível pelos sentidos, mas é claramente compreensível pelo intelecto. A geometria projetiva fornece os meios para dar um primeiro passo para além do nosso mundo material, a fim de ter uma pequena ideia dos poderes criativos de um mundo divino.

2. Ponto, linha, plano e o princípio da polaridade

O plano ideal não tem absolutamente nenhuma espessura e é completamente plano. Não tem nenhuma forma ou magnitude. É uma expressão de extensão extrema. Os seus órgãos são linhas e pontos. 

O ponto ideal não tem igualmente forma nem magnitude. É uma expressão de “concentração mais profunda”. Os seus órgãos são linhas e planos. 

A linha ideal não tem espessura, mas o seu comprimento é infinito e completamente reto, o que significa que é, portanto, uma expressão de extensão e concentração e, portanto, mantém o equilíbrio entre plano e ponto. Do ponto de vista da geometria projetiva, a linha e o plano são considerados como um todo, o que significa que são capazes de produzir uns aos outros pela sua respectiva interação. Devido a este facto podemos dizer, por exemplo, que “um plano pode ser uma unidade de pontos e linhas. É marcado por três pontos a menos que estejam dispostos numa linha, ou por uma linha e um ponto não contido nessa linha, ou por duas linhas, que têm um ponto em comum. 

“um ponto pode ser uma unidade de planos e linhas. É marcado por três planos, a menos que desprovidos de alinhamento, ou por uma linha e um plano não em alinhamento, ou por duas linhas, que têm um plano em comum. (ver fig. 5) 

“uma linha pode ser uma unidade de pontos e planos. É marcada por dois pontos ou dois planos.”

A partir destes factos podemos tirar a seguinte conclusão:

1) Na geometria projetiva, a afirmação de que “um plano encontra-se num ponto (linha)” é válido da mesma forma que “um ponto reside num plano (linha)”. 

2) A linha com os seus três aspetos: a) como um todo indiviso; b) como uma construção de pontos; como uma construção de planos.  

3) A polaridade primitiva do espaço pode ser definida da seguinte forma: “O plano relaciona-se com o ponto da mesma forma que o ponto com o plano.” Se criar qualquer estrutura de planos, pode-se obter uma forma irmã trocando as partes do ponto e do plano. (Na geometria do plano este facto é válido: a linha refere-se ao ponto como o ponto à linha) 

4) Na relação anti-polar dos planos e pontos a linha produz um terceiro elemento de ligação. Assim, podemos falar de uma trindade a este respeito.

3. Polaridades Primordiais no espaço

1) Polaridade entre a geometria do ponto e do plano  

A geometria projetiva não começa apenas a partir do ponto. Ela constrói as formas espaciais não só adicionando, como se com átomos para o exterior, mas também aceita igualmente o processo de modelação agindo da periferia para o interior. Para além da geometria do plano, em que os pontos e linhas são diametralmente opostos (ver fig. 6) podemos ver uma geometria do ponto, em que os elementos correspondentes são linhas e planos que pertencem ao ponto (ver fig. 7).

Desta forma, a geometria bidimensional do plano é oposta pela intensiva bidimensional do ponto. Assim, o plano e o ponto podem ser definidos como extensivos – e intensivos respetivamente – entidades primitivas bidimensionais do espaço. Ambos podem ser vistos ao mesmo tempo, como uma unidade indivisível, ou de acordo com a geometria analítica como uma dimensão zero. Na geometria Euclidiana esta unidade é apenas válida para o ponto, mas é essencial para a compreensão da geometria projetiva e do aspeto etéreo resultante do espaço, experimentar esta unidade com o plano, bem como o elemento estrutural com o ponto. Rudolf Steiner disse uma vez: “Deverá ser capaz de experimentar a extensiva de maneira intensiva e a intensiva de uma forma extensiva.”

As condições polares do círculo podem ser vistas como um exemplo básico para a polaridade do ponto e da linha, uma vez que duas tangentes provenientes de um ponto fora do plano podem ser desenhadas no círculo e a linha de ligação dos pontos tangenciais será a linha polar deste mesmo ponto. A figura 8 mostra como as linhas polares 1/4, 1/3, 1/2 etc. estão a sair dos pontos 4, 3, 2, etc. Ao mesmo tempo que o ponto toca o círculo este sobrepõe a sua linha polar. Movendo o ponto para a distância infinita, a linha polar torna-se o diâmetro. O círculo causa uma relação polar especial no plano completo, atribuindo uma linha polar a cada ponto e um ponto como polo para cada linha.

O que o círculo significa para o plano, o cone significa para a geometria bidimensional intensiva no ponto. Referindo-se ao cone uma linha polar corresponde a cada faixa do ponto, um plano corresponde a cada linha. Desta forma, o eixo perpendicular mais interno corresponde como linha polar ao plano horizontal. Se a linha se encontra na superfície curva como uma gerante, funde-se no seu plano polar com o plano tangencial do cone.

2) Polo e linha polar, referindo-se à esfera 

Da mesma forma que o círculo relaciona o ponto com a linha no plano, a área da esfera relaciona o ponto com o plano no espaço. Se o ponto e o plano não se sobrepõem, no que diz respeito à área da esfera, a relação entre o polo e a linha polar não é composta apenas por duas tangentes, mas por um cone tangencial. Assim que se começa a mover o polo e a linha polar pode ver-se o recíproco “respirar para dentro e para fora” dos pontos e dos planos. O polo do plano infinito do espaço é o centro da esfera. (ver fig. 9).

Quero então concluir as reflexões básicas sobre a geometria projetiva.  

Antes de passar para o próximo capítulo, gostaria de salientar que a geometria projetiva não pode oferecer muitos novos factos relativos aos ramos puramente formais da matemática, uma vez que o espaço Euclídico negativo gerado a partir do espaço Euclíico pela troca do ponto e o plano é assim isomórfico com o Euclídico. As ciências naturais carecem do conceito do espaço etéreo, o que impede os cientistas de se livrarem das atuais ideias materialistas e atomistas das forças que poderiam ser realmente eficazes na natureza.

III. Geometria projetiva como chave geométrica para compreender o espaço físico-etéreo

1. Espaço físico e etéreo

Como um ego encarnado num corpo físico, experimentamos o espaço físico a partir do interior o que é, no que diz respeito à geometria, um espaço constituído por pontos. As leis atribuídas a este espaço físico levam a que “as inúmeras criaturas vivam lado a lado”. Este espaço físico opõe-se a outro espaço onde as criaturas primitivas são planas. Este espaço, em que a função dos pontos e planos são trocados em relação ao espaço físico, é chamado de etéreo ou de espaço diametralmente oposto. As leis formativas deste espaço  são provocadas, de forma análoga, por um único ponto tais como as leis do espaço físico, por um único plano global. É da natureza do espaço etéreo estar emaranhado e entrelaçado.

Assim, podemos dizer:

É da natureza do espaço físico estar centralizado e ser baseado em pontos. O seu infinito é um plano infinito (plano global ⁽¹⁾ ou plano absoluto).

É da natureza do espaço etéreo ser baseado em planos e ser esférico. O seu infinito é um ponto interno (ponto global ou ponto absoluto).

O ponto global é, portanto, nenhum ponto ordinário. Funciona como o infinito no interior; tal como o infinito no exterior, é relativamente inatingível como o plano global. No espaço físico, começa-se a partir do centro desses eixos dos espaços e mede-se para o exterior de um ponto até ao seguinte, até chegar ao plano infinito que é o absoluto deste espaço, enquanto que no espaço etéreo este plano infinito é visto como um plano inicial de todos os planos etéreos rumo ao absoluto que é o ponto global no interior. No plano físico este plano global permanece como absoluto e cada ponto do espaço pode ser considerado como um ponto de partida de um sistema de coordenadas, por exemplo. Quanto mais nos afastamos do ponto de partida em direção ao plano global, maior se torna o espaço físico. Contudo, no espaço etéreo, o ponto global pode existir como o absoluto em qualquer lugar, pois o espaço etéreo penetra no espaço físico onde quer que haja vida. O plano infinito do espaço físico é a mesma esfera inicial para todos estes espaços etéreos. O espaço etéreo fica “maior” quanto mais perto esses planos envolventes flutuam, em direção ao ponto global. Este ponto é o centro de um espaço esférico que é deixado em branco. É essencial sentir o plano como algo inteiro / completo e também livrarmo-nos da concepção de peso e densidade presentes no nosso mundo material para poder vivenciar este tipo de espaço no seu sentido mais genuíno. Os esquemas a seguir expressam estas ideias de forma mais pictórica. No espaço físico o plano global o plano global não pode ser marcado, enquanto que no espaço etéreo, é preciso indicar o ponto global e que é mostrado como estrela.

2. Forças e substâncias físicas e etéreas

As forças físicas características são forças que são eficazes a partir de um centro relativo para a periferia. As forças etéreas, pelo contrário, têm de ser vistas como algo baseado em planos e áreas e que são efetivas fora do plano global periférico em direção ao centro relativo. Esta polaridade é expressa como “peso” e “leveza”. Não devemos ver a “leveza” como a ausência de peso mas como uma força a puxar para cima. Os planos etéreos têm qualidades estruturais tridimensionais e, ao mesmo tempo, atraem e absorvem as substâncias que estão na sua área de influência, longe do peso da terra. Para o nosso conceito físico unilateral de espaço, é pouco habitual pensar em forças que surgem de um plano imensamente estendido e se tornam efetivas no interior. 

A este respeito, Rudoplh Steiner disse: “Se observarmos um material ou um processo a ganhar vida, devemos, em simultâneo, imaginar que eles escapa, das forças sendo eficazes a partir do centro da terra e, assim, influenciar outras forças que não têm centro mas sim um círculo circunflexo”. (Rudolf Steiner: Philosophy and antroposophy, coleção de ensaios 1904-1918, 1º ensaio).

Estas ideias podem ser ilustradas em relação à esfera por se tratar de uma forma que mantém o equilíbrio entre o espaço físico e o etéreo. Colocamos o ponto global e o plano global concêntricos pois, caso contrário a superfície esférica física e etérea não se sobreporiam. O centro da esfera forma o centro para a área de volume físico finito e o plano infinito forma o meio periférico para a área finita da esfera etérea. O espaço que vai do infinito até à área é o volume finito para o espaço etéreo, enquanto que o espaço que chega até ao ponto global é o volume infinito. O que o espaço vazio infinito significa para a força física, o volume significa para o etéreo, e o que o volume significa para a força física, o espaço vazio significa para o etéreo. Uma força física começa no ponto e desaparece na extensão da área, enquanto que uma força etérea funciona no sentido inverso. O plano infinito é a fonte do efeito do éter a agir em direção ao ponto global. Quanto menor o raio físico, maior devemos imaginar a esfera etérea. Este processo cresce em direção ao infinito, até alcançar o ponto global. George Adams descreve este processo de transformação qualitativa que ocorre no momento quando o ponto muda do espaço etéreo, que se tornou infinito, para o início de um espaço físico. Assim, envia uma esfera física crescente para o espaço – uma esfera que, finalmente, atinge a esfera celestial infinita. Nesta altura, ocorre uma segunda transformação, mas desta vez em sentido inverso, com uma esfera etérea a crescer novamente no seu interior. Este processo resulta na conceção de uma vibração qualitativa: forças etéreas dissolvem forças físicas e forças físicas perdem-se nas etéreas.

Imaginemos, agora, que um germe vegetal poderia servir de exemplo de uma forma fisicamente receptiva para o ponto global. Neste caso, o momento em que as forças etéreas se vão tornando infinitas e efetivas para este ponto, significaria um novo começo para o mundo material – a que corresponde o crescimento da planta, no nosso exemplo.

IV Exemplos de espaços etéreos e de forças etéreas

1. Sol e terra

Rudolf Steiner descreveu o sol como sendo o contrapolo da terra dentro do globo, em vários ensaios, quer no que diz respeito ao espaço, quer às suas forças. Ele escreve, por exemplo: “Agora consegue perceber que é da natureza do interior do sol que os seus fenómenos não atuem  do centro para o exterior, mas que eles procedam da coroa em direção à cronoesfera, atmosfera, fotoesfera, do exterior para o interior. Desta forma, o processo procede para o interior e perde o seu efeito em direção ao centro para o qual tende, da mesma forma que os fenómenos que vêm da terra, perdem o seu efeito na extensão da área”. Esta descrição corresponde exactamente à natureza do espaço etéreo ou ao espaço diametralmente oposto. No caso de aceitarmos o termo espaço solar para espaço etéreo, podemos dizer que há espaço solar a receber o fluxo das forças do sol como um receptáculo vivo, onde quer que a vida cresça na terra.

2. A planta, no espaço físico e etéreo

No mundo das plantas, a fusão orgânica das duas forças opostas, a central e periférica, é expressa através da polaridade entre a raiz e o broto, ou caso citássemos Goethe, isto significa a “extensão e concentração”. Na primavera de 1947, diz-se que George Adams percebeu os espaços etéreos ao olhar para os botões e os rebentos jovens. O seu desenvolvimento corresponde exactamente aos dois espaços negativos bidimensionais. Oliver Whicher também refere que a morfologia da planta mostra de uma forma simples e clara o seu processo de crescimento no espaço físico fora do espaço etéreo pertencendo ao rebento. E de facto, pode-se ver no vértice do novo rebento as folhas a formarem um cone oco (um espaço bidimensional negativo) (ver fig 13 a.b.). No caso de crescimento posterior das folhas, esse cone nivela-se em direção ao plano (um espaço bidimensional positivo). No entanto, este processo é repetido a partir do interior. A nova geração de folhas forma novos espaços no interior até que a planta esteja a florescer. Nessa altura, os botões envolvem ainda mais o espaço interior e as pétalas mantêm este espaço interior robusto, ao que George Adams chamou de espaço vazio do conclave (ver fig. 14).

Na sua “Metamorfose das Plantas”, Goethe deu conta de um ritmo triplo de extensão e contração, durante a vida útil de uma planta desenvolvida.

Em primeiro lugar, a extensão do broto no rebento caduco e a contração seguinte nas sépalas e folhas de cobertura.

De seguida, a extensão na floração e a contração seguinte na formação das folhas das frutas e estames (ver fig 15 a, b, c).

Em terceiro lugar, a extensão do fruto que amadurece e, ao mesmo tempo, a contração mais radical à medida que a planta escapa ao máximo do espaço externo e concentra a sua natureza de acordo com a sua potência o que é o seu espaço mais interno. O fruto pertence, exclusivamente, ao material do mundo espacial uma vez que é baseada em pontos. Devemos estar conscientes de que representa um grande sacrifício para o rebento vegetal produzir frutos com as formas etéreas, com folhas e flores jovens iluminadas pelo sol, para dar lugar às formas físicas dos frutos. Podemos dizer que o espaço iluminado pelo sol abriu caminho através do submundo como Perséfone. Mas durante este processo, as sementes prontas para serem espalhadas, também foram formadas. Estas sementes são a quintessência da contração física-espacial bem como do espaço infinito etéreo, e na primavera seguinte são a esperança de uma nova vida logo que as forças etéreas estiverem preparadas (comparar com o fim do capítulo III, parágrafo 2).

George Adams declarou que não haveria vida no planeta sem espaço etéreo. Ele escreveu: “A planta real concentra-se na parte decíduo, enrolando-se para cima (sendo uma criatura mercúrio) e a sua natureza mercúrio, frequentemente retratada como polo mercúrio, deriva da uma cooperação harmónica entre o sol e a terra”.

Não há dúvida que esta força de crescimento no seu movimento para cima e para baixo faz parte de uma das manifestações mais poderosas da natureza.

Schiller descreveu desta forma:

“Quando estiver à procura de algo maior e mais elevado, tome a planta como seu mestre. O que não tem vontade própria, deve estar aberto – e isso é tudo o que existe”.

3.     Efeitos homeopáticos

Como vimos no capítulo III, parágrafo 1, uma esfera espalha-se para o exterior, no espaço físico. Ao contrário, uma esfera física reduz-se quando se encolhe na direção do centro enquanto que uma esfera etérea reduz-se ao ser esticada em sentido físico, o que significa que se vai aproximando gradualmente do plano celestial. O que percebemos como um aumento no sentido físico, significa uma redução no sentido etéreo e vice versa. Se o espaço físico contém uma substância, por exemplo, uma solução aquosa, vai ficar mais concentrado devido à redução do espaço e o efeito do material dissolvido vai ficar mais forte. O que acontece, contudo, se o material físico se liga ao material etéreo, tal como acontece na forma como as essências vegetais e os metais que são portadores de ume força etérea? E o que acontece se nós diluirmos esta substância física? Desta maneira a força etérea misturada com esta substância fica mais concentrada, isto é, o efeito etéreo é mais forte devido à diluição física. Este é o princípio da diluição homeopática.

Conclusão

Os últimos parágrafos mostraram-nos a contribuição da Geometria Projetiva para uma melhor compreensão das forças etéreas na terra. Mas este é apenas um pequeno passo no caminho para a cognição de algo a que chamamos “Deus”. Neste sentido concluímos com uma referência a Angelius Silesius:

“Deus cria-se a ele próprio sem razão e mede-se a ele próprio sem medição. Se estivermos de acordo com Ele, vamos compreendê-lo”

---

Notas:

(1) Os termos “plano global” e “ponto global” são derivados de Ernst Lehr.

Lista bibliográfica:

Notas escritas da leitura de “Projective Geometry I, II”, da Universidade Tecnológica de Graz, 1988, 1989.

Oliver Whicher, Projektive Geometry, Verlag Freies Geistesleben, 1970.

George Adams, Von dem atherischen Raum. Verlag Freis Geistesleben, 1981.

George Adams, Olive Whicher, Die Pflanze in Raum umd Gegenraum, Verlag Freis Geistesleben, 1979.

Helena Petrowa Blavatsky, Geheimlehre 1 bis III, Verlag J. J. Couvreur, Den Haag.

Lois Locher Ernst, Urphanomene der Geometrie. Philosophisch Anthroposophischer Verlag, 1980.