Ou seja, se há algo que não existe na natureza ou no ser humano (e nem mesmo nos gémeos, que rapidamente polarizam-se é a igualdade, e graças a ela pode haver harmonia, vida, movimento, atração e rejeição, cooperação e união, uma vez que os iguais são indiferentes entre si. Sim, existe igualdade naquilo que nos une, além das diferenças, da mesma forma que os rios, as montanhas geladas, as nuvens, os lagos e o mar são todos água. O fundamento é sempre o mesmo, e deve haver uma unidade essencial do Cosmos, para que tudo esteja em tudo e que possamos bem chamar a Deus, sem personalizá-lo.
Se A=A é a identidade, a primeira evidência lógica, e daí nasce toda a matemática e especificamente a arte e a ciência das equações em álgebra, nas fronteiras e na ausência desta identidade encontramos inequações.
Um exemplo simples de inequação é:
3x + 2 > 5x – 1
– 3x + 3x + 2 > 5x – 3x – 1
2x – 1 < 2
2x – 1 + 1 < 2 +1
2x < 3
x < 3/2
A solução é, portanto, muito semelhante, pelo menos as lineares, às de uma equação. Simplesmente quando se multiplica ambos os lados da expressão por um número negativo, muda-se o “maior que” para “menor que”. E o mesmo ao fazer uma inversão, pois:
Se a > b, então 1/a < 1/b
A programação linear é a solução para um sistema de inequações e é extremamente útil na matemática aplicada à vida prática, onde, na verdade, mais do que equações existem sistemas de inequações e desigualdades, para otimizar processos industriais, de comunicações, etc.
Aqui podemos ver um exercício de programação linear muito bonito e prático, baseado em inequações:
A programação linear começou a ser desenvolvida, dizem-nos, com o matemático Joseph Fourier em 1826 e foi de vital importância na Segunda Guerra Mundial, onde o chamado “algoritmo simplex” foi mantido estritamente secreto até 1947, desenvolvido por George Dantzig.
O exemplo original deste matemático é a melhor distribuição de 70 trabalhadores em 70 postos de trabalho, o que nos dá, segundo a combinatória simples, o número 70! (ou seja, 70 fatorial) possibilidades, o que é enorme, maior que o número de átomos do universo, para verificá-los um por um.
Assim como nas equações, tanto nas inequações como nas desigualdades há uma série de propriedades, tais como:
https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
(Extraído do artigo da Wikipédia espanhola “Desigualdade Matemática”.)
Propriedades
As desigualdades são governadas pelas seguintes propriedades. Observe que, para as propriedades de transitividade, adição, subtração, multiplicação e divisão, a propriedade também é válida se os símbolos de desigualdade estrita (< e >) forem substituídos por seus correspondentes símbolos de desigualdade não estrita (≤ e ≥).
Inversa
As relações ≤ e ≥ são inversas entre si, o que significa que para qualquer número real a e b: a ≤ b e b ≥ a são equivalentes.
Transitividade
Para números reais arbitrários a, b e c:
- Se a > b e b > c então a > c.
- Se a < b e b < c então a < c.
- Se a > b e b = c então a > c.
- Se a < b e b = c então a < c.
Adição e subtração
Para números reais arbitrários a, b e c:
- Se a < b então a + c < b + c e a − c < b − c.
- Se a > b então a + c > b + c e a − c > b − c.
Multiplicação e divisão
Para números reais arbitrários a, b e c diferentes de zero:
- Se c é positivo e a < b então ac < bc e a/c < b/c.
- Se c for negativo e a < b então ac > bc e a/c > b/c
Oposto
Para números reais arbitrários a e b:
- Se a < b então −a > −b.
- Se a > b então −a < −b.
Recíproco
Para números reais a e b diferentes de zero, positivos ou negativos ao mesmo tempo:
- Se a < b então 1/a > 1/b.
- Se a > b então 1/a < 1/b
Se a e b têm sinais diferentes:
- Se a < b então 1/a < 1/b.
- Se a > b então 1/a > 1/b.
Função monótona
Ao aplicar uma função monótona crescente a ambos os lados, a desigualdade permanece. Se uma função monótona decrescente for aplicada, a desigualdade é invertida.
Exemplo:
a < b ⇔ ea < eb
Ao aplicar a função exponencial a ambos os membros da desigualdade, ela é válida.
Valor absoluto
Pode-se definir o valor absoluto por meio de desigualdades:
- |a| ≤ |b| ⇔ − b ≤ a ≤ b
- |a| ≥ |b| ⇔ − b ≥ a ≥ b
E já que estamos a falar de desigualdades, existem algumas muito bonitas na álgebra e na geometria, tais como:As diferentes médias podem ser relacionadas por meio de desigualdades. Por exemplo, para números positivos a1, a2, …, an, se
então: H ≤ G ≤ A ≤ Q.
E estas também são belas, entre muitas outras:
- Se a, b > 0, então aa + bb ≥ ab + ba
- Se a, b > 0, então ab + ba > 1
E assim vemos que não só as igualdades, os pontos de encontro, nos movem, mas também as desigualdades cujo encanto é evidente. Na igualdade, duas curvas, ou uma reta e uma curva, encontram seu ponto de tangência (e graças a uma desigualdade anterior). Somos ensinados que “o ponto une e a linha separa”. Graças à unidade os nossos caminhos convergem, e talvez os de todo o Cosmos. Como diria Parménides na sua Ontos-Esfera, graças à desigualdade há tensão, dinamismo nesta busca, a única que permite a vida, pois é a tensão dos diferentes e até dos opostos que se busca a harmonia.
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Foto de Juan chavez em Unsplash