Leis de Kepler

Johannes Kepler nasceu a 27 de dezembro de 1571 em Weil der Stadt, em Wurttemburg, na Alemanha e faleceu a 15 de novembro de 1630, em Ratisbona, também na atual Alemanha.

É considerado um dos grandes astrónomos da História, conhecido principalmente pelas suas três leis dos movimentos dos planetas, as quais foram fundamentais para o desenvolvimento da Astronomia. Era um homem muito religioso, tal como Copérnico, cujo trabalho o inspirou.

A sua vida não foi fácil, pois sofreu a perda de vários filhos e encontrava-se frequentemente sem dinheiro. Colmatava esse problema com a realização e leitura de mapas astrais, sendo muito reconhecido o seu talento na área da Astrologia. Teve ainda que, várias vezes, defender a mãe que era acusada que praticar bruxaria.

Também foi levado a mudar de lugar frequentemente, devido a conflitos religiosos durante a Guerra dos Trinta Anos.

Kepler contactou com várias pessoas que se revelaram importantes na sua vida. Uma delas foi Tycho Brahe que dedicou grande parte do seu tempo a registar observações astronómicas. Contudo, como não as sabia interpretar, contratou Kepler. Após a morte de Brahe, o astrónomo baseou-se nos seus registos e formulou as denominadas Leis de Kepler, que são as seguintes:

Primeira Lei: Lei das órbitas

A órbita de um planeta é elítica, ocupando o Sol um dos focos da elipse (figura 1).

A elipse é uma figura muito comum na geometria plana. Faz parte das chamadas figuras cónicas, porque se pode obter a partir da secção de um cone (figura 2).

Analiticamente, a elipse possui elementos importantes, nomeadamente, os focos, os eixos maior e menor, além da distância focal.

Para construir uma elipse manualmente, fixam-se dois pontos (os focos) e prendem-se as extremidades de um fio a esses pontos. Com o fio esticado, faz-se deslizar um lápis ao longo de todo o fio até dar uma volta completa (figura 3).

Os pontos F₁ e F₂ designam-se focos da elipse.

O ponto médio do segmento [F₁F₂] é o centro da elipse.

A soma das distâncias d(F₁P) e d(F₂P) é constante e igual ao comprimento do eixo maior da elipse, correspondendo ao comprimento do fio.

A distância entre F₁ e F₂ designa-se por distância focal.

A equação de uma elipse centrada na origem e com eixo maior horizontal é a seguinte (figura 4):

Uma elipse pode ser mais ou menos alongada. Assim, a excentricidade de uma órbita elítica determina o desvio da órbita relativamente a uma circunferência. A excentricidade calcula-se através da expressão , em que c representa a distância entre o centro da elipse e um dos focos (metade da distância focal) e a é metade do eixo maior (figura 5).

A excentricidade de uma elipse varia entre 0 e 1, sendo 0 para uma circunferência.

Note-se que se o comprimento do eixo maior igualar o do eixo menor, ou seja, a=b, e substituirmos essas variáveis na equação da elipse, passamos a ter a de uma circunferência de raio r (a=b=r), a saber,  x²+ y²= r² (figura 6).  Nesse caso, e=0.

A excentricidade das órbitas planetárias varia ao longo do tempo, com tendência a diminuir, devido às interações dos planetas com todos os outros astros.

No caso da Terra, temos atualmente um valor para a excentricidade de e=0,0167, pelo que a órbita elítica é muito pouco excêntrica, ou seja, é quase circular. Ainda no caso do nosso planeta, num passado muito longínquo, a excentricidade atingiu um valor máximo de e=0,07.

O atual valor tem como consequência uma variação da distância Terra-Sol de cerca de 3% num ano, o que corresponde a 147 100 000 km no periélio (quando o planeta se encontra mais perto do Sol) e 152 100 000 km no afélio (quando o planeta se encontra mais afastado do Sol).

Segunda Lei: Lei das áreas

O vetor posição de um planeta com origem no Sol (segmento de reta orientado, com origem no Sol e extremidade no planeta), «varre» áreas iguais em intervalos de tempo iguais (figura 7).

Uma vez que o planeta demora o mesmo tempo a percorrer os arcos , a sua velocidade orbital ao longo da trajetória varia. Assim, o planeta terá que se deslocar mais rapidamente entre C e D (no periélio) do que entre A e B (no afélio).

Assim, esta lei demonstra que o movimento do planeta não é uniforme, ou seja, não possui uma velocidade de valor constante ao longo da sua trajetória.

Terceira Lei: Lei dos períodos

O cubo do semieixo maior da elipse, a, e o quadrado do período do movimento do planeta, à volta do Sol, T (período de translação) são diretamente proporcionais.

Matematicamente, esta lei tem a seguinte expressão:

K é constante.

Dando um exemplo para a aplicação desta lei, consideremos o caso da Terra e do planeta anão Plutão.

Para a Terra, temos:

a = 150 milhões de quilómetros (distância média Sol-Terra), ou seja, 1 unidade astronómica (1 ua)

T = 1 ano

Para Plutão, temos:

a = 6000 milhões de quilómetros (distância média Sol-Terra), ou seja, 40 ua

T = 250 anos

Ou seja, para os dois astros, o quociente entre o cubo da sua distância média ao Sol e o quadrado do seu período de translação tem o mesmo valor.

Em suma, as Leis de Kepler foram essenciais para o desenvolvimento da teoria heliocêntrica de Copérnico e mais tarde, para a formulação da Lei da Gravitação Universal de Newton.

Não obstante tenham sido desenvolvidas com o intuito de explicar os movimentos dos planetas, as leis de Kepler aplicam-se a qualquer astro que orbite outro.

Bibliografia:

• Manual de Física, 12º ano, da Texto Editora
• Criação imperfeita, Marcel Gleiser
• Aos ombros de gigantes, Stephen Hawking

Imagem de capa

Johannes Kepler. Domínio público