Matemática e Beleza na Estrutura dos Cristais

“[O universo] não pode ser lido até que tenhamos aprendido a língua e nos familiarizado com os caracteres em que está escrito. Está escrito em linguagem matemática e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem a qual significa que é humanamente impossível compreender uma única palavra.” 

Galileu Galilei

A Natureza brinda-nos com componentes impressionantes: desde animais a plantas, de elementos químicos a compostos, de grandes formações geológicas a pequenos cristais…

As rochas são constituídas por vários tipos de minerais e podem ser classificadas por diversas origens e composições. Por sua vez, os minerais são substâncias naturais sólidas, presentes no estado cristalino ou amorfo, que se representam por fórmulas químicas precisas e equilibradas. Quando estas substâncias, química e fisicamente homogéneas, possuem uma forma externa ou hábito cristalino, poliédrico, com faces que se formam segundo leis geométricas constantes e exatas, são designadas por cristais.

Um cristal é constituído por um conjunto de átomos, iões e moléculas, que se dispõe segundo uma ordem regular e repetitiva, dando origem a uma rede cristalina interna, que não é mais do que uma estrutura tridimensional, de uma sucessão ordenada de células elementares, que se desenvolve segundo leis matemáticas precisas.

E para que se origine um belo cristal, de formas perfeitas e regulares, são necessárias condições específicas, para que estas verdadeiras obras-primas, de formas peculiares e cores luxuriantes, se possam cristalizar e preservar. Tal como em tudo na vida que se aprimora e evolui, para que estas preciosidades tomem forma, é preciso existirem os elementos necessários, tempo e espaço, literalmente, como em tudo na Natureza!

As formas dos cristais devem a sua beleza à estrutura simétrica que as caracteriza e, intrinsecamente, à Matemática. Para que um determinado corpo apresente simetria, será necessário um ponto de referência. Assim como todas as partes do corpo humano são simétricas em relação a um plano imaginário, que corta o corpo em duas partes iguais, longitudinalmente, os cristais caracterizam-se por 3 tipos de elementos de simetria – eixos, centros e planos: A2 = eixo binário; A3 = eixo ternário; A4 = eixo quaternário; A6 = eixo hexâmetro; C = centro; P = plano.

Ressalve-se que a simetria externa dos cristais, que remete a formas geométricas, denomina-se por simetria aparente, uma vez que será a simetria interna que determinará a estrutura do cristal. É possível então, enganar-se por um cristal com aspeto externo simétrico, mas que não corresponde à verdade interna, ou seja, à sua simetria estrutural. Um paralelismo curioso que poderá ser realizado com o Homem, quando a sua essência deve ser remetida ao seu âmago e não à sua aparência ou estética.

A simetria pode originar formas belas, curiosas e exuberantes. Nos minerais, existem 32 classes de simetria que representam as formas geométricas dos cristais com o mesmo grau de simetria. Estas classes dão origem a 7 sistemas cristalográficos, um dos mais importantes elementos de classificação dos minerais, não fosse o número sete um número carregado de misticismo. Estes sistemas, por sua vez, podem ser definidos em 3 unidades de ordem cristalográfica superior, uma espécie de triplo logos cristalográfico: monométrico, dimétrico e trimétrico.

Estes três grandes grupos diferenciam-se devido ao comprimento dos seus parâmetros, ou seja, as três arestas que cortam os três eixos de referência de um cristal. O grupo monométrico tem em comum parâmetros iguais, o dimétrico tem dois iguais e um diferente e o trimétrico tem todos os parâmetros diferentes.

Todo o sistema cristalográfico é caracterizado pelos eixos cristalográficos, em redor dos quais se desenvolve o cristal, coincidindo, normalmente, com os eixos de simetria, correspondendo à direção das três filas de átomos na rede cristalina. Num cristal distinguem-se três ângulos, que se indicam pelas letras do alfabeto grego: α, β, γ. Terá também uma face principal em relação à qual se estabelece a posição das outras faces. Os três eixos de uma face principal, ou parâmetros, de um cristal, indicam-se pelas letras: a, b, c. Assim, as diferentes relações particulares entre estes elementos matemáticos representam constantes cristalográficas típicas de cada sistema, conferindo formas impressionantes aos cristais. 

Veja-se no quadro seguinte, uma representação das formas dos sistemas cristalinos, com a apresentação de belíssimos espécimes:

Como um autêntico milagre de simplificação, os sistemas cristalinos acima apresentados concentram os mais variados formatos poligonais, que tendo por base a Matemática das formas, originam os mais belos “talhes” naturais aos cristais.

No entanto, estes sistemas cristalográficos não são determinantes para a identificação dos inúmeros tipos de minerais existentes na Natureza. Veja-se as imagens abaixo. Espécies minerais diferentes podem apresentar hábito cristalino idêntico, como por exemplo, o hábito cúbico exibido pela halite (sal-gema), fluorite, melanoflogite ou pirite. O contrário pode também suceder, ou seja, um mesmo espécime ou cristal apresentar desiguais hábitos cristalinos, como é o caso da pirite, que pode surgir com diferentes aspetos, como alguns poliedros de Platão.

Halite	Fluorite	Melanoflogite	Pirite	Pirite	Pirite

Os designados Poliedros de Platão, que são sólidos geométricos regulares, (tetraedro, hexaedro ou cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro), são representados na Natureza por diversos cristais. Outra curiosidade Matemática destes sólidos geométricos é que Platão relacionava-os com a construção do Universo, atribuindo a cada poliedro um elemento da natureza: o tetraedro ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmos. Foi a partir da combinação destes elementos que Platão acreditava que foi criado o Universo.