Mínimo múltiplo común e máximo divisor común

A arte de justificar uma ideia matemática depende de contextos que podem transcender a própria matemática. Então, a matemática e a filosofia não estão tão distantes quanto se possa pensar e podemos dizer, até, que são atividades intelectuais complementares.

Observar o mundo, realizar experiências, formular hipóteses e testá-las são procedimentos fundamentais para a ciência. Na matemática, dita ciência exata, a conclusão só é totalmente válida quando todos os casos possíveis são esgotados. Mas, geralmente na maior parte dos problemas de matemática é impossível esgotar todos os casos possíveis, então para se tornar essa conclusão verdadeira usam-se argumentos lógicos e válidos (prova). Assim, a arte de justificar uma ideia matemática depende de contextos que podem transcender a própria matemática. Então, a matemática e a filosofia não estão tão distantes quanto se possa pensar e podemos dizer, até, que são atividades intelectuais complementares. 

A Matemática trabalha com números, um número é um quantificador abstrato; quando afirmamos que 1+2=3, não estamos a referir-nos a nada em particular, ou seja, a afirmação é válida independentemente daquilo que os números representam.

O grande poder da abstração é que nos permite generalizar, não precisamos de um sistema de contagem distinto para quantificarmos o número de árvores, ou o número de livros, ou o número de cadeiras; reduz-se tudo aos mesmos números.

A nossa capacidade de abstracção vai mais longe ao estudarmos as propriedades dos números pois começamos a compreender algo que parece transcender a sua natureza objetiva.

Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo  era número, ou seja, na concepção cosmogónica dos primeiros pitagóricos, o todo era descontínuo, constituídopor unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta ideia provinha do estudo dos números naturais, que quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas. Mas eles constataram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a √2 e que este número é incomensurável (número irracional). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade.

No estudo dos sons musicais em cordas esticadas, descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo 1/2, 2/3, 3/4, etc… Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía a sua harmonia interior.

Em Matemática definem-se vários conjuntos de números:

  • Naturais: 1, 2, 3, 4, …
  • Inteiros: …, -3, -1, 0, 1, 2, …
  • Racionais: 1/2, 1/3, 1/4, … (estão entre 0 e 1)
  • Irracionais: π, √2
  • Reais, imaginários, complexos, etc.

Dentro dos números naturais podemos definir os famosos números Primos que são os que têm como únicos divisores distintos o 1 e eles próprios.

Por exemplo, o número 2 é primo porque só é divisível por 1 e por si próprio, o mesmo acontece com o número 3. Porém, já o número 4 não é primo, pois tem por divisores 1, 2 e 4, designando-se por número composto. Os dez primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23.

Note-se que o número 2 é o único primo par, uma vez que qualquer outro número par é divisível por 2, portanto, não é primo.

A existência de registos envolvendo o conjunto dos números primos num dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegou aos nossos dias, o Papiro de Rhind, copiado por volta de 1650 a.C. pelo escriba Ahmes, permite-nos afirmar que este conjunto era conhecido dos antigos egípcios. Contudo, o seu estudo ter-se-á iniciado na antiga Grécia, por volta de 500 a.C., com os trabalhos desenvolvidos por matemáticos da escola pitagórica. O primeiro método para determinar números primos inferiores a um determinado número n, o Crivo de Eratóstenes, foi desenvolvido por Eratóstenes de Cirene. Trata-se de um método bastante simples, exemplifiquemo-lo para n=100. Liste-se sequencialmente todos os números naturais entre 2 e 100, primeiro eliminam-se desta lista os múltiplos de 2, depois retiram-se os múltiplos de 3, em seguida os múltiplos de 5 e assim sucessivamente. Assim, os números não eliminados, que estão os assinalados na figura com O, são os primos até 100.

No crivo foram utilizadas as cores: Azul, para riscar os múltiplos de 2; Vermelho, para riscar os múltiplos de 3; Verde, para riscar os múltiplos de 5; Amarelo, para riscar os múltiplos de 7; Rosa (em forma de círculo), para riscar o nº 1. Temos assim os números que não foram riscados e que, portanto, são os números primos de 0 até 100:

Aparentemente, os números primos vão ficando mais raros o que pode levar-nos a pensar que são finitos. O que não é verdade, pois, como provou Euclides de Alexandriana sua famosa obra “Os Elementos”, o seu conjunto é infinito.

Em contraste todos os outros números são chamados de números compostos, podendo ser fatorizados em números primos. Por outras palavras, um número composto é dado pelo produto de vários primos.

Por exemplo:          

18 – 3x3x2 – composto

47 – 47×1 – primo

 Os números primos dão origem ao Teorema Fundamental da Aritmética que diz que qualquer número natural pode ser escrito como um produto de primos. Esta factorização em números primos é necessariamente única, ou seja, é impossível escrever um dado número como dois produtos diferentes de números primos. Por esta razão os números primos são considerados as “unidades” base da construção dos números, porque através deles e da operação produto podemos obter qualquer número composto.

Não resisto a incluir este pequeno trecho onde Hipátia fala dos números primos (página 224):

Hipátia desenhou num quadro um ponto e, ao lado, duas linhas que se cruzavam também num ponto e perguntou aos seus discípulos:
– Ambos são pontos, não é certo? Mas um é filho de duas linhas e o outro é em si mesmo.
Um dos discípulos, muito jovem, mas com uma inteligência muito penetrante, disse:
– Tem razão no que diz, Hipátia, embora aquele que é filho de duas linhas já existisse antes e apenas o que fez foi mostrar-se.
– O mesmo, disse Hipátia, sucede com a consciência, que surge sempre de uma relação entre dois ou mais elementos: Entre Eu e a sua circunstância; entre o que somos e o que nos limita, … e no entanto, de modo misterioso, oculto, deve existir antes de encontrar a maneira de “nascer” neste mundo e submetida a determinadas condições.
 Pensa, por exemplo, no filho que nasce para a luz do mundo de um pai e de uma mãe, mas cujo Ser Íntimo deve existir antes, durante e depois da sua consciência se atar a um corpo. De qualquer das formas – continuou Hipátia – de certo modo os Números Primos, que nascem de si mesmo, são como os pontos ou como aquilo que emerge do mistério, os restantes nascem e são medidos por estes. Daí serem como estrelas no céu. Daí o nome com o qual, tantas vezes, os refiro: “estrelas de um firmamento mental”. Números Primos são as Ideias que nos permitem decifrar o mistério da vida, sair do caos que apresenta e achar as figuras geométricas que a regem.

A Viagem Iniciática de Hipátia, de José Carlos Fernández

M.D.C.: Máximo Divisor Comum

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. 

Fazendo uma analogia entre números e os seres humanos, podemos dizer que cada pessoa é única, pelo que as pessoas podem ser equivalentes a números primos, por sua unicidade indivisível. Deste modo, o M.D.C. entre todas as pessoas é a Humanidade indivisível em todos nós.

A Matemática e a Filosofia representam uma forma lógica de compreensão dos fenómenos, e daí a importância que é dada aos números na actividade científica. Lamentavelmente, a lógica perdeu-se na filosofia, na medida em que se abandonou a ideia de uma lógica fundamental universal.

Deste modo, enquanto na matemática o M.D.C. dos números primos é o número natural 1 (um), em relação ao qual o conceito é unívoco, e que tinha originalmente significação filosófica, no universo filosófico há divergências teóricas sobre a natureza do mundo e da própria humanidade, com diferentes modos de ver o mundo, ou cosmovisões.

Voltando ao cálculo matemático:

Usamos a abreviação M.D.C. para designar o máximo divisor comum.

Os divisores de um número natural podem ser encontrados dividindo esse número pelos números naturais maiores que zero. Quando a divisão for exacta, ou seja, com resto zero, então esse número é divisor do número dado.

Exemplo:

30 é divisível por 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 e 1. Assim chamamos a estes números divisores do número 30.

Como podemos calcular o M.D.C. de dois ou mais números?

Para calcular o M.D.C. devemos fazer a decomposição em fatores primos.

Para tal devemos seguir as seguintes regras:

  • Decompor os números dados em fatores primos.
  • Pegar nos fatores primos comuns com os seus expoentes menores.
  • Fazer o produto desses fatores.

Exemplos:    

16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

Os fatores primos comuns aos dois números dados são 24e 2³. Desses dois temos 2³ com o menor expoente. Logo, 2³ = 8.

Portanto, o M.D.C. (16; 24) = 8, que é o maior número natural que divide ambos os números dados.

Considerem os números 30, 50 e 20, o M.D.C. deles é?

30 = 2 x 3 x 5

50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5²

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

Os únicos fatores que dividem todos ao mesmo tempo são o 2 e o 5. Desta forma pegamos os fatores com menores expoentes e fazemos a multiplicação.

Logo, 2 x 5 = 10

Portanto, o M.D.C. (30; 50; 20) = 10

Propriedades do M.D.C.:

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o M.D.C. dos números dados;

Exemplo:

M.D.C. (3; 6; 12) = 3. 3 é divisor de 6 e 12, então ele é o máximo divisor comum.

Dois números consecutivos são sempre primos entre si.

Exemplos:

M.D.C. (25, 26) = 1.  O maior número que divide 25 e 26 é 1.  Então, ele é o máximo divisor entre 25 e 26

M.D.C. (13, 5) =1, o único número que os divide ao mesmo tempo é o número 1.

Encontre o M.D.C. para os números dados.

a) M.D.C. (36 ,90):

36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 =    2 x 3 x 3 x 5

O M.D.C. é o produto dos fatores primos comuns =>M.D.C. (36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto M.D.C. (36,90) = 18.

Escrevendo a factorização do número na forma de potência temos:

36 = 22x 32

90 = 2 x 32x5

Portanto M.D.C. (36,90) = 2 x 32= 18.

O M.D.C. de dois ou mais números, quando fatorizados, é o produto dos fatores comuns a esses números, cada um elevado ao menor expoente.

b) M.D.C. (15, 24):

15 = 3 x 5

24 = 2x 3

Portanto o M.D.C. (15,24) = 3 que é o fator comum aos dois.

Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.)

É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números.

Para calcular o m.m.c. devemos seguir as seguintes etapas:

– decompor os números em factores primos.

– tomar os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.

– multiplicar esses fatores entre si.

Vejamos o m.m.c.(15,24):

15 = 3 x 5

24 = 2x 3

O m.m.c. (15, 24) = 3 x 23x 5 = 120

Relação entre o M.D.C. e o m.m.c.:

O produto de dois números é igual ao produto do seu M.D.C. pelo seu m.m.c.

Vejamos o exemplo do 15 e do 24:

O M.D.C x m.m.c. = 3 x 120 = 360 e 15 x 24 = 360

Propriedades do m.m.c.:

– o m.m.c. de dois números consecutivos é o produto deles.

– o m.m.c. entre dois números, em que um é múltiplo do outro é o maior entre eles.

– o m.m.c. entre dois números primos é o seu produto.

– o  m.m.c. entre 1 e outro número é esse número.

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2 comentários

  • Elizabeth Pricoli Vilela

    Excelente aula. Recordei a matéria. Não me lembro mais nada de matemática!

  • Parabéns pela iniciativa. Que essa atitude de disseminação do conhecimento se multiplique.

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