Número de Ouro Parte II – Aplicabilidade e Transversalidade

Dando continuidade ao estudo sobre o número de ouro, o texto que se segue é uma amostra daquilo que é a sua presença em diferentes campos: Geometria; Arte; Natureza, entre outros. Pretende-se, assim, evidenciar a transversalidade deste número tão especial!
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1. Retângulo de Ouro e Espiral Áurea

No escrito anterior sobre este tema, foi possível estudar o número de ouro. Aproveitamos para lembrar que o número de ouro, phi, ϕ/φ, é dado pela expressão

que se pode simplificar na dízima infinita não periódica, 1,61803… e, ainda que, a sua origem algébrica esteve intimamente relacionada com a geometria, que vamos agora melhor explorar.

Em qualquer retângulo cuja razão entre o comprimento e a largura seja , ou seja, o número de ouro, denominamos por retângulo de ouro ou áureo.

Como construir um retângulo de ouro?

Para esta construção, precisamos de material de desenho, isto é, um lápis/caneta, um compasso e uma régua graduada.

Tabela 1: Processo de construção do retângulo de ouro

Para averiguar que se trata efetivamente de um retângulo de ouro, por um processo analítico, basta fazer as medições relativas aos lados e proceder ao quociente do comprimento pela largura. No caso anterior, a medida da largura é 3 cm, uma vez que o quadrado inicial tinha como medida do lado 3 cm e aplicando o Teorema de Pitágoras, consegue obter-se a medida do comprimento do retângulo que é, aproximadamente, 4,85, logo

Consegue-se, ainda, verificar que o retângulo [DBEF] é também áureo; para além de que é semelhante ao [ACEF] dado que os lados são proporcionais entre eles. Aliás, repetindo este processo ad infinitum, construindo retângulos maiores e mais pequenos, ou seja, interiores e exteriores a [DBEF] e vamos obtendo sucessivamente retângulos semelhantes uns aos outros.

A partir do retângulo de ouro, é possível construir1 a espiral de ouro ou áurea2, basta, para isso, colocar a ponta seca do compasso num dos vértices do quadrado dentro do retângulo de ouro e abrir com a medida do lado desse quadrado. Repetindo o processo para todos os retângulos de ouro construídos, vão surgindo várias curvas dentro de cada retângulo, que todas juntas formam a espiral áurea, como ilustram as animações seguintes (imagem 1 e imagem 2):

Imagem1: Espiral de ouro Créditos da animação: https://tenor.com/view/golden-ratio-goldenratio-spin-rotate-gif-7569189
Imagem 2: Processo de construção da espiral áurea Créditos da animação: https://gfycat.com/gifs/search/golden+ratio

Acresce-se a seguinte nota por uma questão de clareza ao assunto. Existe uma grande quantidade de espirais definidas no campo da matemática (Sharp, 2002, é um bom artigo para elucidar sobre a temática), entre as quais se incluem a espiral de ouro e a espiral de Fibonacci. Efetivamente, tratam-se de dois tipos diferentes de espirais dada a forma como são obtidas: a espiral de ouro (imagem 3) é conseguida por meio da construção explicada acima – retângulos de ouro – ao passo que a espiral de Fibonacci (imagem 4) é alcançada utilizando sempre quadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (os números presentes na sequência de Fibonacci). De facto, são muito parecidas e chegam a coincidir a partir de determinado ponto (imagem 5), contudo, não se trata da mesma espiral.

As seguintes imagens 3, 4 e 5 representam respectivamente a espiral de ouro, a espiral Fibonacci e a sobreposição de ambas as espirais. Créditos das imagens https://www.ciabyte.com.br/faq/como-desenhar-a-espiral-de-ouro.asp
2. Número, retângulo e espiral áureos na Natureza

Estudar o número, o retângulo e espiral áureos tem sido parte do trabalho da comunidade científica dada a presença que todos têm ao nosso redor em diferentes elementos naturais. Esta investigação acontece não só pela beleza que estes aportam, mas, essencialmente, pelo que intrigam; uma vez que o padrão áureo é muito recorrente e simples de observar, ainda que os cálculos nem sempre sejam simpáticos de efetuar. O que se pretende com esta secção do texto é evidenciar alguns dos exemplos presentes na Natureza que contam com esta regularidade.

Existem algumas flores cujo número de pétalas que as constituem representam um termo da sequência de Fibonacci. Apresentamos, nas imagens 6, 7, 8 e 9 alguns exemplos:

Imagem 6: Jarros – Flores com 1 estrutura
floral* (espata) Créditos da imagem: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zantedeschia_

aethiopica_%27Childsi%27_2.JPG

* Estruturas florais incluem sépalas, pétalas, entre outros. No caso dos jarros, a estrutura que observamos não se chama pétala, mas sim espata. Incluímos este exemplo dado não parecerem existir, na Natureza, flores com 1 pétala.

Imagem 7: Calças do holandês – Flores com 2 pétalas
Créditos da imagem: https://pt.vecteezy.com/foto/

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Imagem 8: Trillium grandiflorum – flor com 3 pétalas.
Créditos da imagem: By СССР – Own work, CC BY-SA 2.5 ca,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=79426316
Imagem 9: Myosotis alpestris – flor com 5 pétalas
Créditos da imagem: CC BY-SA3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=238246

Alguns crisântemos, Erva-de-Santiago e algumas margaridas, são exemplos de flores com 8, 13 e 21 pétalas, respetivamente.  Convidamos o leitor a explorar e também a fazer esta contabilização nas flores com que se for cruzando! 

Para além das pétalas, que se relacionam com o número de ouro, há outros exemplos na flora onde é possível observar o retângulo áureo ou a espiral áurea ou a de Fibonacci. 

No girassol, observa-se a espiral de Fibonacci e acredita-se (Minarova, 2014) que é assumida esta configuração por uma questão de maior eficiência e sobrevivência da própria planta, uma vez que o espaço onde as sementes podem estar é maximizado sem existir sobreposição entre elas. São formados dois conjuntos de espirais com direções contrárias, sendo que o número de cada conjunto é sempre um par de termos seguidos na sequência de Fibonacci:

Imagem 10: Espirais de Fibonacci num girassol
Créditos da Imagem: Fibonacci Series in Nature – Premium Guide for Tech News, Hacking Tutorials, Hacking Tricks and Much More | Viral Tech Fever
Imagem 11: Crescimento de sementes num girassol.
Crédito da imagem https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sunflower_
seed_pattern_animation.gif

No exemplo anterior (imagem 11), observa-se que existem 21 espirais com o sentido dos ponteiros do relógio e 34 no sentido contrário – estes são dois termos seguidos da Sequência de Fibonacci. Esta configuração em forma de espiral é espoletada pelo movimento interno da própria planta cujo crescimento das sementes se dá do centro para as extremidades, como se pode verificar pela animação anterior (imagem 10).

Prendendo a nossa atenção, momentaneamente, no girassol e nesta configuração que ele toma, muitas são as reflexões que podem surgir. A primeira relaciona-se com a forma como nascem as suas sementes: brotando do centro e alastrando a partir daí, o girassol mantém a sua unidade por maior que seja a distância que esses “tentáculos” possam alcançar. Depois, é ainda relevante destacar que há sempre dois movimentos relacionados com esse desabrochamento: um num sentido mais construtivo (sentido horário) e outro num sentido mais destrutivo (sentido anti-horário), que nos relembra, constantemente, a dualidade que nós próprios somos e vivemos por estarmos presentes neste planeta. Por fim, a observação das configurações adotadas pelos girassóis podem dar-nos um bom “truque” para conseguirmos lidar com o lado solar e lunar que “habitam” em nós: permitir que ambos existam, sem que se tente destruir nenhum deles, mas sim tentando uma conjugação harmónica e estética, como tão bem faz o girassol.

O girassol não é a única planta que assume este tipo de crescimento das suas sementes. Existe uma grande quantidade das flores que se configura desta forma e outros elementos da flora que também seguem esta lógica, como é o caso das pinhas

Imagem 12: Pinhas com esspirais de Fibonacci. Créditos da imagem: Minarova (2014)

A lógica na estruturação do crescimento de uma pinha é a mesma de um girassol a diferença é que o centro do crescimento numa pinha é a sua ligação com o pinheiro que lhe dá vida; ao passo que no girassol é o caule da flor. Também aqui podem surgir algumas reflexões acerca da importância da ligação ao elemento “criador” e de como este é determinante para o sucesso efetivo do elemento “criado”. Na imagem 12 observamos 8 espirais no sentido dos ponteiros dos relógios e 13 no sentido contrário – novamente dois termos da Sequência de Fibonacci.

Ressalve-se que estes são dois exemplos que contam com estes termos da Sequência de Fibonacci, porém, em ambos os casos podem existir mais ou menos conjuntos de espirais, de acordo com aquilo que é a própria planta.

Ainda que estas formas de crescimento pareçam simples depois de investigadas, a verdade é que estamos a falar de um processo complexo envolvendo as regularidades áureas. Não deixa de ser curioso como dentro desta simplicidade, a Natureza encontra a forma mais eficiente de oferecer uma resposta àquilo que são as condições de vida na Terra, enquanto nos presenteia com a estética que está inerente ao processo, evidenciando que a resposta natural é sempre harmónica e, por isso mesmo, aquela que melhor serve tudo e todos!

Galhos numa árvore aquando do crescimento da mesma, ananases, couves-flor, bananas, entre outros, enquadram-se na infindável lista de exemplos da presença desta sequência na flora.

Imagem 13: Concha de nautilus Créditos da imagem Tracey Nicholls http://www.scienceimage.csiro.au/image/2933 Creative commons

No que diz respeito aos animais, a presença da Sequência de Fibonacci ocorre por meio da proporção áurea que surge de cálculos realizados através de medições ou da espiral que é possível observar na sua formação. Truta salmonada, linguado, chifres de animais são alguns dos exemplos que caberiam nesta secção; no entanto, optamos por destacar somente aquele que é capaz de ser o caso mais famoso, a concha de Nautilus (imagem 13), aproveitando para salientar o cuidado que é necessário ter sempre que, a partir de uma única observação, se retiram ilações. Clarificando: sempre que se falam em exemplos clássicos onde é possível encontrar a Sequência de Fibonacci na Natureza, a concha de Nautilus surge como um dos primeiros, contudo, o facto desta concha adquirir esta formação espiralizada, não significa que estejamos perante a espiral áurea ou de Fibonacci e, de facto, confirmando matematicamente, não estamos. Como já tivemos oportunidade de clarificar acima, existem diferentes tipos de espirais, e, efetivamente na natureza existe uma grande abundância deste elemento (samwoolfe, 2015, é um texto interessante que explora esta questão), como tal, não são todas as espirais do mesmo tipo. Assim para conseguir compreender se a espiral que está presente nos diferentes animais é áurea ou de Fibonacci, há que ultrapassar a impressão que nasce da observação, havendo necessidade de realizar cálculos para existir essa confirmação.

3. Número, retângulo e espiral áureos na Arquitetura

Trazemos, agora, alguns exemplos relacionados com a Arquitetura. Interessa salientar que não existe concordância no meio académico, relativamente à presença da proporção áurea nos mesmos, todavia deixamos algumas relações explícitas e que muito se aproximam do valor do número de ouro.

Grande Pirâmide de Quéops, Egito

Como podemos observar pela imagem 14, a razão entre o apótema da pirâmide (altura de um dos triângulos das faces laterais) com metade do lado da base é muito próxima da áurea.

Pártenon, Grécia

Apesar do imenso debate em torno do Pártenon, existem dois quocientes que podem ser destacados. O primeiro quociente é o resultante entre a largura do estilóbato (indicado na imagem 15), aproximadamente 19,20 m, e a largura da fachada, aproximadamente 30,88 m, obtendo-se o valor de, aproximadamente, 1,61. O segundo quociente provém da relação entre a largura da fachada, aproximadamente 30,88 m, e a altura total do Pártenon, incluindo o frontão, aproximadamente 19,20 m,  obtendo-se o valor de, aproximadamente, 1,61.

Imagem 13: Pártenon e indicação do estilóbato Créditos da imagemhttps://www.glosarioarquitectonico.com/
glossary/estereobato/

Taj Mahal, Índia

Outro monumento onde a beleza emana e, como tal, a procura por associações com a relação áurea é natural, é o Taj Mahal. À semelhança do Pártenon, há também bastante discussão sobre a comprovação destas ditas relações, ainda assim, conseguimos destacar um quociente: a relação entre o arco maior, com aproximadamente 33 m e largura de cada parede lateral, de aproximadamente 20,5 m; perfazendo, aproximadamente, 1,609.

4. Número, retângulo e espiral áureos na Arte

Entrando no campo da arte, é importante acautelar que, tal como sucedeu com a arquitetura, existem grandes debates acerca da presença da proporção áurea em diferentes obras.

Leonardo da Vinci

Porventura o caso mais paradigmático é o de Leonardo da Vinci, conhecido como o verdadeiro Homem do Renascimento dada a amplitude de interesses e competências. Por ser também ele, “filho” do tempo que viveu, a tentativa de fazer presentes, novamente, os valores da antiguidade clássica era uma preocupação sua. Desta feita, seja pela beleza e harmonia que suas obras transmitem; seja pelo tempo que da Vinci viveu; seja pelo facto de se saber que a relação áurea pode ser uma boa “fonte” de justificação destes elementos, a verdade é que se encontra muita informação acerca da proporção de ouro e as obras de Leonardo. Contudo, com uma pesquisa mais aprofundada conseguimos compreender que não temos dados suficientemente robustos que nos permitam concluir muitas das relações indicadas.

Ainda assim, na sua obra, A Última Ceia (imagem 16), conseguimos encontrar a sequência de Fibonacci: 1 mesa; 1 figura central (Jesus); 2 paredes laterais; os discípulos agrupados em 3 ou ainda a parede do fundo apresenta 3 janelas; 5 grupos de pessoas (4 de discípulos e Jesus); 8 painéis laterais e 13 pessoas sentadas à mesa.

Imagem 14: A Última Ceia. Domínio público

Não sabemos se Leonardo o fez de forma deliberada já que esta é uma interpretação moderna da sua obra, no entanto a contagem dos elementos coincidirem com os termos da sequência é, no mínimo, interessante.

Para além de da Vinci, outros artistas há que incorporam esta relação nas suas obras.

A Escola de Atenas, de Rafael

Contemporâneo de Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio, ou simplesmente, Rafael, é um conhecido artista renascentista e as suas obras acompanham-nos até hoje. A sua obra, A Escola de Atenas, apresenta, reunidos num só “espaço”, os grandes vultos atenienses, das mais diversificadas áreas, com valiosos contributos para o desenvolvimento da humanidade. 

A obra original tem as seguintes dimensões: 500 x 700 cm. Dividindo (como se pode ver na imagem 17) a altura e a largura pelo número de ouro obtemos, aproximadamente, 309 e 476 cm, respetivamente, cruzando-se num ponto – marcado a preto na imagem 17. Estas marcações – que com maior ou menor precisão, acabam por estar situadas desta forma ou noutras muito similares – sugerem equilíbrio visual e coincidem com os elementos arquitetónicos de destaque, os arcos, do afresco, dividindo em quatro partes o mesmo.

Imagem 15: marcações no afresco d’A Escola de Atenas. Domínio público

Tirando estas, existem outras relações que são dadas como áureas nesta obra, porém, tal como já sucedeu em casos anteriores, a verdade é que o grau de precisão dos dados utilizados é baixo, o que impossibilita uma conclusão exata.

O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí

Salvador Dalí foi um pintor espanhol que viveu de 1904 a 1989, conhecido pelo seu trabalho no âmbito do surrealismo. Em “O Sacramento da Última Ceia” existem muitas referências à relação áurea: desde a posição em que se encontra Jesus Cristo ou ainda na disposição dos apóstolos, passando pela dimensão da obra propriamente dita. Não as vamos explorar todas exaustivamente, todavia, fica a indicação caso o leitor decida, autonomamente, investigar mais afundo.

Começando pela dimensão da obra: 267 x 166,7 cm, realizando o quociente obtemos, aproximadamente, o número de ouro. Observando o sólido – dodecaedro: sólido platónico constituindo somente por (doze) pentágonos regulares – presente na obra (ver imagem 18) é possível identificar os pentágonos que o constituem. Matematicamente, para qualquer pentágono regular, isto é, com os lados todos iguais, a razão entre a medida do comprimento da sua diagonal e a medida do comprimento do seu lado é sempre a áurea. Adicionalmente, mas não relacionado com a proporção áurea, podemos pensar, também, no simbolismo por detrás deste sólido platónico já que, Helena Blavatsky, em “A Doutrina Secreta”, nos indica que o pentágono representa o Homem no seu estado ideal. Por sua vez, tal como Platão sugere no seu “Timeu”, o dodecaedro seria a forma perfeita para simbolizar todo o Universo e, por isso mesmo, o molde ideal para o fazer emergir.

5. Conclusão

Muita é a informação que se encontra sobre a temática e é, efetivamente, muito fácil colocar sobre qualquer imagem um retângulo qualquer e dizê-lo áureo ou ainda uma espiral qualquer e identificá-la com a relação áurea ou de Fibonacci. De facto, o manancial de informação que temos à disposição poderia ser entendido como um grande facilitador, mas, após essa fase inicial de procura, são muito mais as contradições, debates e controvérsias que se encontram sobre o tema do que propriamente conclusões consistentes com os dados conhecidos, aguçando, desta forma, o espírito investigativo de quem quer saber mais. Simultaneamente, cria-se algum desconforto já que as expectativas são encontrar Fibonacci em tudo e de forma clara e, quando isso não só não acontece de forma explícita, como ainda existem informações a refutar o mesmo, a reflexão acerca da maneira como procuramos as coisas e esperamos que elas se possam enquadrar com o nosso pensamento, vai crescendo em nós.

Estudar Fibonacci é conseguir ver a beleza por detrás dos diferentes elementos, sejam eles naturais ou não; é possibilitar a observação de padrões que são tão importantes não só para a Matemática, mas também para a Vida no geral; mas é também compreender a especificidade que esta relação aporta, seja através da proporção, seja por meio da sequência ou ainda pela espiral. Sem minimizá-la nem a maximizar, mas dando-lhe o valor que ela tem – como aliás consta da sua essência: a relação áurea preconiza a máxima grega “Nada em excesso” –, é possível compreender como esta é uma relação diferente das demais e o facto de não ser assim tão comum como muitas vezes nos fazem crer, confere-lhe, do meu ponto de vista, um certo grau de raridade, tal como ocorre com o ouro.

Para os gregos antigos, a relação áurea era uma forma simbólico-matemática de representar a perfeição que advém da harmonia e equilíbrio entre o caos e a ordem, sendo, por esta razão, também chamada de proporção divina. E esta é uma ideia que, quer esteja muito ou pouco fundamentada cientificamente, foi sobrevivendo até aos dias atuais e está e foi estando presente ao longo da história da humanidade de uma forma muito transversal (como fomos vendo ao longo do texto). Creio que isto também nos deve fazer pensar acerca de como nós, enquanto seres humanos, vamos procurando articular diferentes assuntos e estabelecer pontos de contacto com valores que, ainda que não os reconheçamos de forma direta, parecem estar presentes de forma implícita, como sejam: a verdade, a harmonia, a justiça, o equilíbrio, a perfeição e a própria divindade.

Tendo a certeza de que a temática tem ainda muito por explorar e que os exemplos são infindáveis, esperamos que, pelo menos, o texto tenha servido o propósito de não somente evidenciar alguns casos relacionados com esta regularidade, mas também de não a banalizar ao querer colocá-la presente em todo o lado, principalmente quando não está.

Indo aos poucos abrindo a mente à compreensão e permitir que a Verdade possa estar presente vai-nos colocando na “perseguição” à aspiração de corresponder ao ideal filosófico que vive em cada um de nós, tal como atesta Platão, em “A República”: “- E a quais chamas verdadeiros filósofos?;  – Aqueles para quem a verdade é o espetáculo pelo qual estão enamorados.” (p. 268).


  1. Para quem quiser ver a construção da espiral e do retângulo áureos passo-a-passo, este vídeo é um ótimo auxiliar: https://www.youtube.com/watch?v=6Ho5XZRLVnY ↩︎
  2. A espiral áurea é um tipo de espiral logarítmica cujo crescimento é determinado pelo número de ouro. Para maiores considerações sobre este assunto, ver o artigo Spirals and the Golden Section, de John Sharp, de 2002 (https://doi.org/10.1007/s00004-001-0005-x). ↩︎

Bibliografia

Sites:

Artigos:

  • Sharp, J. (2002). Spirals and the Golden Section. In Nexus Network Journal (Vol. 4, Issue 1, pp. 59–82). Springer Science and Business Media LLC. https://doi.org/10.1007/s00004-001-0005-x
  • Minarova, Nikoletta. (2014). The Fibonacci Sequence: Nature’s Little Secret. CRIS – Bulletin of the Centre for Research and Interdisciplinary Study. 2014. 10.2478/cris-2014-0001.
  • Shekhawat,K. (2015). Why golden rectangle is used so often by architects: A mathematical approach. Alexandria Engineering Journal, Volume 54, Issue 2,Pages 213-222, ISSN 1110-0168, https://doi.org/10.1016/j.aej.2015.03.012. (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1110016815000265)
  • samwoolfe. (2015, March 19). Why Do Spirals Exist Everywhere in Nature? Blue Labyrinths; Blue Labyrinths. https://bluelabyrinths.com/2015/03/19/why-do-spirals-exist-everywhere-in-nature/
  • Hoteit, Aida. (2021). Standards of Classical Architecture Criticism: Between Mathematics and Philosophy. Journal of Architectural Research and Development. 5. 1-20. 10.26689/jard.v5i2.1754.

Livros:

  • Platão. (2017). A República (P. Bernardo, Ed.; E. Gala, Trans.; 2nd ed.) [Review of A República]. Book Builders.

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Foto de Shivendu Shukla na Unsplash

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