O Problema e o Mistério da Duplicação do Cubo

Antes de entrarmos no problema, devemos perguntar-nos o que está por trás do número Dois, e o que significa duplicar ou encontrar a dupla medida.

Para os Pitagóricos, o número 2 indicou a entrada na matéria, como um espelho em que a realidade ideal converte-se numa imagem, duplica-se nela, numa simetria que nunca permitirá que seja igual a si mesma (como acontece na simetria espelhada, na verdade). Os passos da aparente realidade aumentada ou diminuída seriam duplicações ou metades.

Os filósofos egípcios notaram que a soma de metade mais metade da metade, mais metade da metade, e assim por diante, não importa quantas vezes execute esta operação, nunca completará o todo. Isto foi representado pelo Olho de Hórus, quebrado por Seth (matéria ou tempo como adversidade) em pedaços e que só pode ser magicamente reconstituído por Thoth, a Inteligência. As diferentes partes deste Olho de Hórus designaram diferentes poderes de 2 inversões, e a soma deles sempre deixou 1/64 por completar, sem alcançar a unidade.

Talvez a parábola cristã que diz que “o Reino dos Céus (isto é, onde o raio de Deus ou da Unidade vive plenamente, para além da matéria, ou no seu grau mais subtil) é como uma semente de mostarda”, expressa, numa chave matemática, este mínimo que permite dar sentido ao todo, para recuperar a unidade perdida.

Temos também que considerar como o número 2 e as suas potencias nos dão a medida do conjunto de partes de um conjunto, incluindo o todo. Ou seja, outra referência ao todo desagregado, em que necessitamos de olhar para ele na soma dos seus diferentes subconjuntos.

Por exemplo, o chamado “conjunto de partes de um conjunto”. Se tivermos dois elementos, A e B, este conjunto seria formado por A, B, AB e o conjunto vazio. Se for A, B, C; teríamos A, B, C, AB, AC, BC, ABC e o conjunto vazio (embora considerando isto ou não, é uma questão de debate). Se for A, B, C, D, o conjunto seria composto por A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD e o conjunto vazio.

Podemos ver, e pode-se demonstrar que o conjunto de partes de um conjunto é 2 elevado à potência do número de elementos individuais desse conjunto.

2² = 4, se tiver 2 elementos: A, B

2³ = 8 se tiver 3 elementos A, B, C

2⁴= 16 se tiver 4 elementos A, B, C e D

Se não considerarmos o conjunto vazio, este conjunto de partes de um conjunto seria formado por 2ⁿ-1, e a série de números que origina, associada a este conceito foi muito importante na antiguidade, como veremos num artigo futuro.

Há outro conceito muito importante em relação a 2, que é basilar em matemática antiga e sagrada ou filosófica natural. Dobrar algo (como com um triângulo retângulo 1.1, √2) ou duplicar o seu tamanho, é torná-lo exatamente o mesmo, mas num nível diferente. Se o tamanho da matéria não importa, somos confrontados com a mesma forma de realidade-ideia-forma. A chave aqui é a música. Uma nota musical com metade das vibrações por segundo ou comprimento de onda, ou com o dobro de um comprimento de onda, é a mesma nota musical numa escala diferente.  Uma escala musical vai sempre de uma nota à qual é semelhante, com vibrações duplas por segundo (ou se é uma corda, com metade na extensão da mesma). Isto acontece com o som, e como Walt Disney mostrou veladamente (inverte a ordem), também em cores, uma vez que o espectro visual vai de 380 (em vermelho) a 770 (em violeta) nanómetros. O que é incrível é como violeta se aproxima visualmente do vermelho numa escala diferente. Ou seja, embora lhe chamemos simplesmente ultravioleta ou infravermelhos, talvez ambos estejam a repetir a mesma escala de cores no invisível.

Ou seja, entre uma realidade manifestada e o seu duplo ou meio atravessa todos os arquétipos, como uma espiral que se vira sobre si mesma ou dentro ou fora e retorna ao mesmo eixo.

A duplicação do cubo, ou de um determinado volume (que sintetiza) deve ter sido na antiguidade uma questão de extrema importância, uma vez que o que talvez seja o Sanctum Sanctorum do mesmo (o Ponto Alfa de todo um ciclo de história e vida da humanidade), ou seja, o chamado sarcófago de granito da Grande Pirâmide, recria-a de uma forma assombrosa. O volume exterior é exactamente o dobro do interior. Se somarmos a isto, como diz o engenheiro da NASA Christopher Dunn, que está sintonizado num perfeito Lá musical, na medida em que a chamada Câmara do Rei em que está, e a própria Pirâmide está num Fá perfeito; podemos intuir, mesmo vagamente, a sua importância.

Se tivermos um segmento, é fácil duplicar o seu tamanho, basta repeti-lo na mesma linha (como adicionar uma magnitude consigo mesmo). Se queremos duplicar uma superfície, por exemplo, um quadrado (que normalmente é usado como medida de superfície), já não é tão óbvio, temos de usar do lado do novo quadrado a diagonal do antigo que queremos duplicar. É facilmente provado usando o teorema de Pitágoras.

Mas duplicar um cubo não é tão fácil, longe disso. Na verdade, é um dos três problemas insolúveis da matemática grega (juntamente com a quadratura do círculo e a trissecção do ângulo). Insolúvel usando a geometria do plano e com base na utilização de régua não graduada e compasso (isto é, baseada em círculos e linhas retas). Foi necessário esperar até 1837 para obter uma demonstração desta impossibilidade. Pierre Wantzel fê-lo com métodos algébricos face à mais completa indiferença dos seus colegas matemáticos contemporâneos, que tornaram esta descoberta muito importante vazia por mais 50 anos. As provas de “impossibilidade de” não estavam então na moda entre os matemáticos. Aqui está uma explicação didática mas densa de tal impossibilidade, no genial Mathologer:

Aritmeticamente é simples, a questão é como encontrar isto

geometricamente.

Vol A = l x l x l = l³

Vol B = X x X x X = X³

Vol B = 2 Vol A

X³ = 2l³

Este fator de duplicação do cubo

também se encontra na escala musical temperada. Se uma nota musical for a mesma na escala seguinte, o seu número de vibrações é o dobro. Se quisermos dividir esta distância em 12 fatores (que correspondem aos semitons, nas teclas de piano, preto e branco, por exemplo entre uma nota e a mesma superior), o fator pelo qual devemos multiplicar cada nota para obter o próximo é

Pois

Se quisermos procurar a distância musical para que a mesma duplique 3 vezes e nos dê a mesma nota na escala superior, será a chamada Terceira, que corresponde, precisamente com

E referimo-nos à escala temperada em que as distâncias entre as notas musicais são um tom ou meio tom exatamente igual. Este fator com

é exatamente o equivalente à duplicação do cubo, a Terceira em linguagem musical.

A primeira menção – sem contar com o sarcófago de granito vermelho da Grande Pirâmide – que temos da duplicação do cubo na nossa cultura ocidental é a de um poeta (que se debate se poderia ser Ésquilo, Sófocles ou Eurípedes) que narra como Minos estava infeliz com a medida do túmulo de Glauco (30 pés de cada lado) e queria que o seu volume fosse o dobro.

Embora a versão mais conhecida, e daí o nome deste problema, que se chama “problema delio”, é que os cidadãos delios perguntaram no Oráculo de Apolo como se libertar de uma praga que os estava a dizimar, e o deus respondeu que deveriam construir um altar que fosse o dobro do volume do altar que já tinham. Platão consultado sobre o significado do oráculo ou como construí-lo, o sábio da Academia teria dito que a epidemia era o resultado do seu abandono das suas intenções para com o mundo inteligível, matemático e divino, sendo assim as suas mentes arrastadas pelas correntes enlameadas do materialismo e enfraquecendo, nesta ignorância, e escuridão mental e os seus escudos de proteção contra todo o tipo de pragas.  Pois, no inteligível, todos nós formamos uma família de almas, entre nós e com as próprias verdades eternas, no sensato que todos nos tornamos concorrentes e inimigos uns dos outros, portanto, daí a discórdia, e disso, a falta de saúde das almas e depois dos corpos, cuja saúde quebrada não permite enfrentar as doenças que se aglomeram em todo o lado.  Talvez o significado do Oráculo seja que eles foram para onde já havia um Altar Duplo (o Baú da Ressurreição no seio da Câmara do Rei da Grande Pirâmide) e procuraram algum sacerdote-mago (como se os sábios pré-socráticos chegassem do Egito) para lhes dar a solução ou ir com eles. Na lenda insiste-se que a primeira tentativa foi simplesmente duplicar o tamanho das bordas do altar-cubo, mas neste caso, o volume resultante seria 8 vezes maior (2 x 2 x 2).

Platão na República refere claramente que para juntar harmoniosamente dois volumes não é suficiente uma média proporcional única, como no caso das magnitudes lineares, mas dois. E diz que o Demiurgo ou o Logos, para unir o Fogo e a Terra precisavam de dois meios proporcionais que seriam ar e água. Imaginamos que esta união do Fogo Terra foi associada com a entrada do mundo das Ideias na matéria, isto é, com a duplicação de espelhos da Ideia, e como efectuá-la no mundo das formas de volume através de dois outros elementos mediadores. Como se fosse de 1 a 2 tinha que passar por dois volumes que faziam médias harmónicas e assim necessariamente aparece o 4. A duplicação do Cubo.

Hipócrates de Chios (470-410 a.C.) já tinha revelado que o problema da duplicação do cubo era equivalente a encontrar dois meios proporcionais entre uma quantidade e o seu dobro. Na verdade, se para um determinado segmento de linha de comprimento a é necessário encontrar x tal que x 3 = 2a 3, pode-se procurar segmentos de linha de comprimentos x e y respectivamente tais que a/x = x/y = y/2a; em seguida, um 3/x 3  =  (a/x)³  = (a/x)(x/y)(y/2a) = a/2a = 1/2.  Também é fácil vê-lo limpando o valor de y na primeira equação e substituindo-o na segunda.

De qualquer forma, a solução surpreendente foi dada por Arquitas, amigo de Platão. Não no plano euclidiano, mas sim, saltou para as três dimensões. Encontre a solução na intersecção de duas superfícies: um toro (como um donut) com espaço central, e um cilindro, que geram uma curva especial, onde é cortado com um cone, da medida de

e portanto, de duplicação do cubo. Como podemos ver em detalhe em demonstrações de geometria analítica de seguida, excelente sobre o assunto, e de onde extraímos esta imagem, com o cilindro em vermelho, o toro em azul e o cone em verde.

Neste mesmo local encontramos outras soluções (que vão além do uso de régua e compasso não graduados no plano euclidiano) de Eudóxo, do próprio Platão, Eratóstenes, Menaecno (que usa as secções cónicas) e Nicomedes (que usa uma figura especial chamada concóide).

Muito profundos devem ser os significados ocultos por de trás deste facto (a duplicação do cubo) e a sua demonstração baseada em cilindros, cones e superfícies toroidais (às quais Tales de Mileto deu tanta importância, porque ele disse que a base ou forma da Terra era como o toro ou o bocel das colunas, que é realmente a forma do campo magnético do nosso planeta). Talvez demarquem, geometricamente, as rotas evolutivas do que existe e se manifeste desde o mundo ideal para o das formas e da matéria e o regresso à sua verdade interior.

José Carlos Fernández

Córdoba, 27 de Dezembro de 2022

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