Parábola

Geometricamente, a parábola é conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de uma reta e de um ponto exterior a esta. A esta reta dá-se o nome de reta diretriz ou simplesmente diretriz¹, e este ponto designa-se por foco. Para elucidar, sugerimos ao leitor que pegue numa folha de papel qualquer e marque, indiscriminadamente, uma reta e um ponto exterior à mesma nessa folha de papel. De seguida, tente colocar o ponto sobreposto à reta, dobrando para isso a folha em questão. Repita o processo até começar a ver uma linha a aparecer, que será a parábola. As diferentes retas que vão surgindo dos vincos que vão sendo feitos no papel são tangentes a cada um dos pontos da linha da parábola. A animação seguinte, onde o ponto azul é o foco e a reta preta é a diretriz, ilustra este processo bastante bem. O ponto a vermelho que surge é a tal sobreposição que se vai realizando para obter as diferentes retas tangentes.

Esta relação altamente geométrica pode ser traduzida algebricamente por:

d(F, P) = d(r, P)

onde:

• F é o foco;
• P um ponto qualquer da parábola;
• r a diretriz e
• d representa a distância entre os objetos elencados dentro dos parêntesis

Uma vez que as distâncias entre foco e parábola e diretriz e parábola são iguais, entende-se, agora, por que motivo a excentricidade da parábola é um, já que a única forma de um quociente ter como resultado um é se ambos os elementos que o constituem forem iguais.

Filosoficamente, o Foco – que é um ponto – representa o Uno sem segundo, a Unidade, ou seja, o que é, foi e sempre será; já a Diretriz, representa a dualidade e, portanto, o mundo concreto. Helena Petrovna Blavatsky esclarece muito bem estes dois objetos, dizendo: “o ponto une e a linha separa”. É muito curioso que quanto mais observarmos a animação anterior, melhor a compreendemos: reparemos como existe um deslocamento de um ponto vermelho sobre esta reta, este mundo concreto, quase que numa tentativa de se aproximar do ponto azul, o foco, o mundo mais abstrato. Ora, tal facto nunca vai suceder, mas, é encontrado um meio caminho entre o que é imaterial e o que não é (foco e diretriz), surgindo, por isso, a curva, a parábola, como caminho de harmonia entre estas duas dimensões.

Se colocarmos sobre um referencial cartesiano ortonormado, o foco e a diretriz, conseguimos atribuir coordenadas aos pontos e a partir daí calcular as distâncias mencionadas.

Consideremos a seguinte parábola, definida pela diretriz, d, e pelo foco, F.

Utilizando a relação anterior, podemos escrever:

Chegamos à forma canónica de uma parábola como a que está representada na imagem anterior. Algebricamente, trata-se de uma equação de 2.º grau dado apresentar termos com potência de expoente dois.

Reparemos como esta expressão obtida em nada contraria aquilo que é a equação geral das cónicas, bem pelo contrário: quando vamos à equação geral das cónicas e anulamos o C – e considerando o B=0 uma vez que a parábola em questão apresenta a diretriz paralela ao eixo dos xx –, ficamos com uma equação como a seguinte,

Ax² + Dx + Ey + F = 0

onde:

• A = 1;
• D = 0 = F – temos uma parábola como eixo de simetria a reta de equação x = 0;
• E = -4p

Os restantes casos de parábolas, isto é, com focos e diretrizes noutras posições relativas, apresentam raciocínios análogos para chegar à sua forma algébrica. Para os leitores mais interessados fica o convite para essa exploração.

Conseguimos, também, observar que existe uma simetria nesta secção cónica e, por isso mesmo, está-lhe associado uma reta como eixo de simetria. No caso em que estamos a trabalhar, esse eixo é o próprio eixo dos yy (de equação x = 0). Para as restantes parábolas, é procurar a reta que irá dividir em duas partes iguais. A este eixo de simetria pertencem infinitos pontos – como é próprio das retas – mas, destaca-se um em especial que pertence simultaneamente também à parábola, a que damos o nome de vértice. O vértice é, também, o ponto onde existe a mudança de monotonia⁷, i.é, é o ponto onde a função passa de crescente a decrescente e vice-versa. No caso da parábola acima, este ponto coincide com a origem do referencial – ponto de coordenadas (0,0).

Vista que está a abordagem geométrica da parábola, e lançado o mote para abordar a parábola de um ponto de vista relacionado com as funções⁸, vamos explorá-lo.

Dentro de todo o tipo de funções que existem, vamos focar a nossa atenção nas polinomiais⁹ de 2.º grau.  A parábola é o nome que damos a essa representação gráfica de uma função polinomial do 2.º grau¹⁰, ou seja, é a tradução para a geometria da seguinte forma algébrica:

y = ax² + bx + c, com a ≠ 0

Conseguimos obter diferentes parábolas conforme vamos “brincando” com cada um dos parâmetros envolvidos, a, b e c.

Variações tanto do sinal como em termos numéricos do parâmetro do termo de grau 2, i.é, ax2, apresentam diferentes parábolas: quanto maior for o valor absoluto do coeficiente do termo de grau maior, mais estreita se apresenta a parábola. Caso esse valor seja positivo, dizemos que a parábola está com a concavidade (curva) voltada para cima; caso contrário, a parábola apresenta a concavidade voltada para baixo. A imagem abaixo expressa muito bem esta ideia: conseguimos perceber que as parábolas que apresentam uma maior abertura da sua curva (concavidade) são as que têm um menor valor absoluto do parâmetro a; ao passo que as que têm uma menor abertura apresentam um maior valor absoluto desse parâmetro. Ademais, conseguimos ver 3 parábolas com a concavidade para cima, que são as que têm um parâmetro a positivo e as que o têm negativo, apresentam-se com a concavidade voltada para baixo.

Esta abordagem matemática à parábola, permite-nos observar sob um outro ponto de vista filosófico este objeto. A parábola, como pudemos perceber pelo conceito geométrico, surge como resposta harmónica da Vida¹¹ àquilo que esta própria representa: um concílio entre o mundo sensível e o mundo inteligível, sendo por isso também uma forma dinâmica de representar o 3, o ternário, como explica o professor José Carlos Fernandez, em “Viagem Iniciática de Hipátia: Na Demanda da Alma dos Números”. Por isto,  a parábola representa igualmente, os dois movimentos que a Vida encerra, respeitantes aos dois princípios que cada um de nós é – princípio inteligente e princípio material. Então, quando quisermos perceber qual o movimento do princípio inteligente, focamos a nossa atenção nas parábolas com a concavidade voltada para cima e compreendemos que a vida deste princípio contempla uma materialização/densificação para posteriormente ocorrer o movimento contrário em direção ao alto, a um plano mais subtil. Já as parábolas com a concavidade voltada para baixo, encerram a vida do princípio material, onde inicialmente existe um movimento em direção a um auge, tendo todas as capacidades físicas a convergir para esse pico e assim que este é atingido inicia-se um processo de deterioração própria deste componente.

Dando continuidade ao nosso estudo da parábola, interessa, também, explicitar os cálculos que nos permitem determinar o vértice e o eixo de qualquer parábola. Então, quando escrevemos a expressão algébrica de uma função polinomial de 2.º grau completa de uma forma mais simpática, utilizando-nos de alguma manipulação algébrica, vem:

Assim, as coordenadas do vértice da parábola são

Dado que o vértice é um ponto do eixo de simetria, conhecendo a abcissa deste conhecemos a equação desta reta uma vez que se trata de uma reta vertical cuja equação é do tipo x=h, podemos concluir, assim, que o eixo de simetria de qualquer parábola tem como equação:

Estudar a parábola sem fazer referência à sua propriedade refletora, é deixar esse estudo incompleto, portanto, de seguida, olharemos com algum cuidado para essa propriedade e respetivas aplicabilidades no dia-a-dia.

Qualquer reta paralela ao eixo da parábola e que intersete a curva, converge para o foco e o contrário também é verdade, i.é., qualquer reta que tenha como origem o foco da parábola, irá intersetar a parábola num ponto contido numa reta paralela ao eixo da mesma. Na tabela abaixo, ilustram-se estas situações:

Matematicamente, esta propriedade prova-se, demonstrando que os ângulos de incidência e de reflexão têm exatamente o mesmo valor de amplitude. Para que possamos ilustrar esta questão, utilizaremos como apoio a imagem¹³ abaixo, onde conseguimos observar que a parábola tem vértice em 0,0 e eixo de simetria x=0. Assim, estaremos a debruçar-nos neste caso particular de parábolas que já tínhamos abordado mais acima.

O que pretendemos demonstrar é:

Comecemos por observar que o ângulo QPB é igual ao ângulo STP, uma vez que as retas QP e ST são paralelas já que QP é um raio de incidência e ST é o eixo da parábola.

Logo, mostrar que é igual a mostrar que ou seja, que o triângulo [SPT] é isósceles, i.é., que a distância entre S e P é a mesma que a distância entre S e P.

Matematicamente, ¹⁴

Calculemos agora utilizaremos cálculos e raciocínio análogos ao cálculo da distância anterior:

Portanto, e, por isso, o triângulo [𝑆𝑃𝑇] é isósceles, logo, e, finalmente, . Assim, a propriedade refletora da parábola está demonstrada.

Ambas estas situações, são utilizadas amiúde por qualquer um de nós: no primeiro caso, as antenas parabólicas ou os satélites, utilizam esta configuração por forma a otimizar a receção dos sinais; já no segundo caso, as lanternas ou focos de luz dos carros apresentam esta forma uma vez que usando apenas um foco de luz é possível dispersar essa concentração de uma forma mais eficiente.

Foquemos a nossa atenção nas lanternas e nas lentes parabólicas que as constituem: a partir do foco elas conseguem dispersar a luz que esse ponto tem, propagando-a naquele raio de ação. E se nós conseguimos fazer isto connosco próprios? Interior e exteriormente, entenda-se. Interiormente, porque o foco pode ser percebido como o nosso “Eu”, o mais verdadeiro de nós, o mais real que cada um de nós tem para oferecer ao mundo. Se conseguíssemos que a nossa mente (o nosso grande campo de ação/batalha interna) fosse parabólica e fosse capaz de propagar da forma mais autêntica possível esse “Eu”? Exteriormente, porque à medida que esse trabalho interior vai sendo realizado, o obreiro que cada um de nós é, pode funcionar como um foco parabólico onde aquilo que é emanado é o que é Bom, Verdadeiro, Justo e Belo, dissipando estes “raios” no seu entorno.

Mais: se reparamos cada raio que vai saindo ou entrando, compreendemos que o faz de uma forma reta, não distorcida ou seguindo diferentes direções, isso também nos dá uma pista de como podemos utilizar esta propriedade a nosso favor. Quando os acontecimentos da vida surgem e somos capazes de os compreender uma forma construtiva, estes convertem-se em ensinamentos retos, isto é, cumprindo os critérios de Bom, Verdadeiro, Justo e Belo e, havendo um “recipiente” parabólico para os receber, temos, igualmente, uma capacidade de os reter no nosso “Eu” mais profundo, isto é, no Foco dessa parábola. E o caminho com o sentido contrário também é verdadeiro, desde que sejamos capazes de trabalhar isto connosco próprios e consigamos ter uma mente parabólica, seremos verdadeiros propagadores de retidão, de luz.

Por fim, elencam-se, de seguida, as duas curiosidades relativas a esta cónica e que, na verdade, de certeza, que muitos de nós já nos apercebemos dela.

Sempre que um objeto é lançado ao ar, de forma oblíqua, o movimento que ele faz de encontro ao chão, respeitando Lei da Gravidade, é um movimento parabólico, ou seja, é um movimento descrito por parábola. É este tipo de movimento que vemos num lançamento de uma bola, no lançamento de um projétil, entre outros.

Filosoficamente, isto acontece uma vez que existindo esse objeto – componente material – neste mundo dual, este encontra-se sujeito às Leis da Natureza, onde se inclui a Lei da Gravidade, que funciona como atractor desse mesmo objeto. Então, este tipo de lançamentos, simbolicamente, representam os impulsos que o nosso “Eu” faz com o sentido de se poder elevar e conseguir, um dia, superar a Lei da Gravidade, o que significaria que já não estaria presente neste mundo concreto, dual, não necessitando mais

de uma expressão física para poder realizar-se, ou seja, o estado nirvânico seria atingido. Aí, talvez, a parábola já não serviria como representação daquilo que é a Vida de cada centelha divina, uma vez que já não existe dualidade e, por isso mesmo, já não existe necessidade de harmonia entre os dois princípios dado que esta já tinha sido atingida. Mas isto é apenas “conversa” para daqui muitos milhares de anos, pelo menos para a grande maioria de nós…

Para finalizar, é interessante ainda apontar que a estas curvas, as parábolas, são muito utilizadas em construções uma vez que as suas características garantem a sustentabilidade destas por conseguirem distribuir de forma igual as tensões em toda a construção, permitindo criar estabilidade. Por exemplo, na ponte 25 de Abril, aquilo que observamos é que existe uma parte da construção que contempla uma parábola, como ilustra a figura abaixo.

Novamente, a parábola a mostrar-nos como fazendo uma distribuição equilibrada de todas as forças e tensões dentro de nós nos permite criar uma estrutura mais equilibrada, estável, harmónica, uma estrutura mais coerente com a Vida e com aquilo que ela espera de nós.

Que mundo seria este onde todos nós fôssemos verdadeiras parábolas? Um mundo onde conseguíssemos garantir a nossa própria sustentação, em todas as dimensões da Vida, e conseguíssemos ter a capacidade de recolher os melhores aspetos que a Vida tem para oferecer e integrá-los em nós e vice-versa, ou seja, ter a capacidade de dispersar o que temos

de melhor e presenteá-lo aos outros! Um mundo onde entendêssemos a dualidade intrínseca ao nosso ser, ao nosso planeta, ao nosso universo e, por isso mesmo, conseguimos dar, na medida certa, o valor que cada coisa tem na nossa Vida! Enquanto esperamos que esse mundo chegue, que continuemos a caminhar para esse objetivo e que possamos ter como inspiração do mundo das ideias, a nossa querida parábola!

No próximo texto, veremos como a circunferência encerra em si o que aparece escrito no livro “O Interesse Humano”, de Nilakanta Sri Ram: “O mundo é a circunferência; no coração do homem está o centro. Ele tem de estabelecer uma relação viva entre os dois.”

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‘1. Uma reta que está fixa no decorrer do processo de construção da parábola e, por isso mesmo, fixa uma direção.

2. A distância entre uma reta e um ponto é a distância entre esse ponto e a sua projeção ortogonal na referida reta, por outras palavras é a medida do comprimento entre o ponto e a reta medida de forma perpendicular.

3 Definição de distância entre pontos (por detrás está o Teorema de Pitágoras) – para maiores esclarecimentos consultar: https://youtu.be/VmlHGprMf30.

4 Os parêntesis desembaraçam-se utilizando o caso notável da multiplicação seguinte: (𝐴+𝐵)2=𝐴2+2𝐴𝐵+𝐵2

5 A única forma destas raízes quadradas serem iguais é se o seu radicando (o que está “dentro” da raiz) for igual.

6 Agrupar e reduzir os termos semelhantes permite-nos chegar a este passo.

7. A monotonia de uma função prende-se com o compreender onde a função é crescente ou decrescente. Para compreender se a uma função é crescente ou decrescente, muito simplificadamente e utilizando a representação gráfica, basta colocar o lápis em cima do ponto mais à esquerda – onde “começa” a função – e percorrer todo o caminho até ao ponto mais à direita. Caso esse movimento seja descendente, então a função designa-se decrescente; caso contrário, denomina-se crescente; se existir uma mistura de ambos os “movimentos”, dividimos por intervalos de números reais e caracterizamos “parte a parte”.  Nas partes onde o movimento não é ascendente nem descendente, dizemos que a função é constante. ↩︎

8. Uma função é uma correspondência unívoca entre conjuntos de números. A esses conjuntos damos o nome de domínio e contradomínio. Aos elementos do domínio chamamos objetos e aos elementos do contradomínio, imagens. Uma função admite diferentes representações, sendo as mais usuais a expressão analítica/algébrica e a representação gráfica ↩︎

9. Uma função polinomial é uma função cuja representação algébrica é um polinómio. Como os polinómios podem ter diferentes graus (associados ao expoente da potência maior que surgir nos diferentes termos), a função que estes estejam a representar também seguirão essa mesma lógica. Assim, um polinómio de grau 3, por exemplo, representará uma função polinomial de 3.º grau. ↩︎

10. Todas as funções quadráticas têm como representação gráfica parábolas, mas nem todas as parábolas são funções (considerar o conceito de função na nota 8). ↩︎

11. Vida surge com letra maiúscula por se querer contemplar o conceito mais real/verdadeiro desta palavra. ↩︎

12 Todo o processo que se segue relaciona-se com o completamento do quadrado, que envolve os casos notáveis da multiplicação.

13. Para maiores esclarecimentos acerca dos valores das coordenadas dos pontos ou das expressões que aqui surgem, consultar https://www.youtube.com/watch?v=xBnKSuJwZUE&t=379s ↩︎

14. Para provar esta igualmente, faremos recurso da distância entre dois pontos, que também já foi mencionado antes neste texto – vide nota 3.

15 Caso notável da multiplicação – vide nota 4.

16 √𝑎2=|𝑎| uma vez que sempre que “cortamos” o quadrado com a raiz quadrada temos de ter em atenção o facto de este número poder ser positivo ou negativo e para que não existam quaisquer problemas, escrevemos, portanto, que o resultado desse corte é o seu valor absoluto. Por exemplo: √4=2; mas 4 pode ser escrito como 22 ou (−2)2, quando escrevemos |−2|=2=|2|, esta situação fica salvaguardada e podemos concluir que: √22=2 e √(−2)2=|−2|=2.

17 O valor de 𝑎 é positivo porque a nossa parábola tem a concavidade voltada para cima.

18 1+𝑝2>0 uma vez que qualquer coisa ao quadrado – 𝑝2 – à qual se soma uma unidade é sempre um valor positivo.

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Bibliografia

Sites Consultados:

· https://mathbitsnotebook.com/Geometry/Equations/EQParabolaApplied.html

· http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa08/Wisdom/EMAT6690/Parabolanjw/reflectiveproperty.htm

· https://blog.matthen.com/post/6000287357/a-geometric-construction-of-the-parabola-the-blue

· https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic2/2a/2a_2content_13.html

· https://www.gi2.pt/

Livros:

· Viagem Iniciática de Hipátia: Na Demanda da Alma dos Números, do professor José Carlos Fernández;

· O Interesse Humano, de Nilakanta Sri Ram;

· Identificação das Cônicas, de Aldo Brito de Jesus, Vitória da Conquista, 21 de fevereiro de 2018.

Vídeos: · https://youtu.be/VmlHGprMf30 · https://www.youtube.com/watch?v=LD4BHPFAHUM · https://youtu.be/xBnKSuJwZUE · https://www.youtube.com/watch?v=1befoZdpVMk

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Autoria MpF gerada por IA