O filósofo Platão concebia a proporção como um elemento “aglutinante”, o médio, o vínculo de harmonia entre as magnitudes.
Os pitagóricos [1] mencionavam, como os mais importantes, três tipos de proporções ou vínculos:
Média aritmética de a e b seria
por exemplo, entre 6 e 8 seria 7[2];
Verifica-se, portanto, que , ou seja, a média é excedida por um extremo e excede-o na mesma quantidade.
Média geométrica de a e b seria ; por exemplo, entre o 3 e o 27 seria 9.
Verifica-se que ou seja, a proporção de um extremo com a média é a mesma da média com o outro extremo.
Média harmónica entre a e b seria
Ou seja, segundo diz Platão [3], excede os seus extremos e deles é excedido pela mesma parte proporcional à fração de cada extremo respetivamente:
Por exemplo, entre o 2 e o 8 seria o
Ou seja, seria o recíproco, o inverso da “média dos inversos”.
Entre elas há uma relação admirável:
O que significa que a média geométrica de duas magnitudes é também a média geométrica entre a sua média aritmética e a sua média harmónica, ou seja, estão em proporção.
Recordemos que quando Platão explicou no Timeu como o Demiurgo criou o Universo, fê-lo de uma substância do Mesmo e do Outro seguindo uma partição das séries geométricas (1, 2, 4, 8) e (1, 3, 9, 27), a chamada Lambda pitagórica (porque segue a forma de uma letra L grega). E dividiu estes intervalos ou partes, introduzindo médias aritméticas e harmónicas.
Isto originaria a estrutura musical da Alma do Mundo e, portanto, de tudo quanto existe e que permite a consonância das partes com o todo e entre si: o “Assim é acima como é abaixo”, lema dos filósofos e alquimistas. Aí estão, portanto, as médias geométricas, aritméticas e harmónicas como rainhas do amor do que vive, estabelecendo os vínculos no “ADN” da própria existência.
Há uma representação geométrica, também surpreendente que as inclui. Se a e b são duas magnitudes [4]:
A média harmónica também aparece no problema das escadas cruzadas: duas escadas apoiadas em paredes separadas de alturas a e b cruzam-se na metade da sua média harmónica (ver o genial vídeo explicativo)
A altura indica a metade da média harmónica, o que significa que
Importantíssima equação que na Teoria dos Números se chama “Equação Óptica” e que é equivalente às Equações Diofantinas, de propriedades filosóficas maravilhosas e às quais dedicaremos um artigo inteiro; e outro aos trios pitagóricos que geraram, por exemplo, o 3, o 4 e o 5, o Triângulo Sagrado Egípcio, associado na sua relação geométrica aos Deuses Osíris, Isis e Hórus.
Cada média proporcional gera uma série, de onde a média está entre os extremos, por exemplo:
- A aritmética 1, 3, 6, 9, 12… onde a razão aritmética é 3; a média aritmética entre 3 e 9, por exemplo, seria o 6.
- A geométrica entre 1, 3, 9, 27, 81… em que a razão geométrica é também 3; a média geométrica entre 3 e 27 é 9.
- A harmónica
. Esta é a série harmónica por excelência, chave dos harmónicos musicais. Quando uma corda vibra, o som resultante é a soma de todos os seus harmónicos, teoricamente ao infinito.
Há outros tipos de séries que se fundamentam em outros tipos de proporções (10, segundo os pitagóricos [6]). Uma importantíssima é a chamada Série de Fibonacci, cuja razão converge, no infinito, no Número de Ouro. Esta série é formada por números inteiros, onde cada termo é a soma dos dois anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Chamando ao n termo desta sucessão, cumpre-se
Esta série dá o modelo de crescimento harmonioso na Natureza, e estudá-la-emos em vários artigos futuros, pois é o esqueleto formal da vida que se expande.
Imaginemos que subimos uma montanha, a série aritmética dá um crescimento progressivo contínuo.
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
O crescimento ou diminuição de uma série geométrica é exponencial.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
Cada termo nesta série é uma potência de 2
2^0=1, 2^1=2, 2^3=8, 2^4=16, etc.É por exemplo a reprodução de uma bactéria num meio nutritivo ideal e sem dificuldades de nenhum tipo.
O crescimento na série de Fibonacci (1170-1240), é o natural, de facto, na sua primeira formulação, como afirmou este matemático com o famoso problema de reprodução dos coelhos.
Recordemos a Teoria de Malthus, que afirma que os alimentos crescem de forma aritmética, enquanto que o número de habitantes na Terra o faz de forma geométrica (o que não é estritamente certo, mas sim na sua época), o que leva, mais tarde ou mais cedo, a um colapso, como vemos hoje em dia numa Terra sobrecarregada e em sofrimento com 7 mil milhões de seres humanos depravando-a.
Se imaginarmos a subida de uma montanha, a série de Fibonacci seria a subida em que nós, ao mesmo tempo que vamos subindo, vamos crescendo em tamanho e velocidade, como o expressa muito bem a evolução da alma, evolução que se fosse aritmética, a escada far-se-ia psicologicamente infinita, e pensar que é exponencial é pura fantasia.
Quando imaginamos a altura espiritual de um Buda, de um Platão ou de um Confúcio, a sua compreensão, a sua paciência, a sua bondade, o seu sentido de dever, o seu amor incondicional e sentimos onde estamos, é fácil pensar que nunca chegaremos, ou pouco nos aproximaremos da Chama, como quando ao subir a montanha percebemos que não estamos mais perto das estrelas do que antes.
Mas sim, sabemos que quanto mais avançamos maiores serão também as potências da alma, sabemos que a caminhada será cada vez mais rápida e que mais tarde ou mais cedo toda a Humanidade chegará a este estado de abnegação, de PUREZA e SABEDORIA, para desde aí embarcar a caminhos inesperados.