Reflexões sobre a média aritmética, geométrica e harmónica

Recordemos que quando Platão explicou no Timeu como o Demiurgo criou o Universo, fê-lo de uma substância do Mesmo e do Outro seguindo uma partição das séries geométricas. E dividiu estes intervalos ou partes, introduzindo médias aritméticas e harmónicas.

O filósofo Platão concebia a proporção como um elemento “aglutinante”, o médio, o vínculo de harmonia entre as magnitudes. 

Os pitagóricos [1] mencionavam, como os mais importantes, três tipos de proporções ou vínculos: 

Média aritmética de a e b seria  

\[a + b\over 2\]

por exemplo, entre 6 e 8 seria 7[2];

\[{6 + 8\over 2} = 7\]

Verifica-se, portanto, que ax=xb, ou seja, a média é excedida por um extremo e excede-o na mesma quantidade. 

Média geométrica de a e b seria a×b; por exemplo, entre o 3 e o 27 seria 9. 

Verifica-se que ax=xb ou seja, a proporção de um extremo com a média é a mesma da média com o outro extremo. 

Média harmónica entre a e b seria

\[{1 \over {{1 \over 2} ({1 \over a}+{1 \over b})}} = {1 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}} = {2ab \over a+b}\]

Ou seja, segundo diz Platão [3], excede os seus extremos e deles é excedido pela mesma parte proporcional à fração de cada extremo respetivamente: 

\[{x – a \over b-x} = {a \over b}\] \[{a(b-x)} = {(x-a)b}\] \[ab – ax = bx – ab\] \[2ab = {bx + ax} = {x(a+b)}\] \[x = {2ab \over a+b}\]

Por exemplo, entre o 2 e o 8 seria o Qn 

Ou seja, seria o recíproco, o inverso da “média dos inversos”. 

Entre elas há uma relação admirável: 

\[M_g = {\sqrt{M_a + M_h}}\] \[{M_a \over M_g} = {M_g \over M_h}\]

O que significa que a média geométrica de duas magnitudes é também a média geométrica entre a sua média aritmética e a sua média harmónica, ou seja, estão em proporção.

Recordemos que quando Platão explicou no Timeu como o Demiurgo criou o Universo, fê-lo de uma substância do Mesmo e do Outro seguindo uma partição das séries geométricas (1, 2, 4, 8) e (1, 3, 9, 27), a chamada Lambda pitagórica (porque segue a forma de uma letra L grega). E dividiu estes intervalos ou partes, introduzindo médias aritméticas e harmónicas. 

Isto originaria a estrutura musical da Alma do Mundo e, portanto, de tudo quanto existe e que permite a consonância das partes com o todo e entre si: o “Assim é acima como é abaixo”, lema dos filósofos e alquimistas. Aí estão, portanto, as médias geométricas, aritméticas e harmónicas como rainhas do amor do que vive, estabelecendo os vínculos no “ADN” da própria existência. 

Há uma representação geométrica, também surpreendente que as inclui. Se a e b são duas magnitudes [4]:

Construção geométrica para encontrar as médias aritmética (A), quadrática (Q), geométrica (G) e harmónica (H) de dois números a e b. / wikipedia

A média harmónica também aparece no problema das escadas cruzadas: duas escadas apoiadas em paredes separadas de alturas a e b cruzam-se na metade da sua média harmónica (ver o genial vídeo explicativo)

Escadas cruzadas de comprimentos a e b. h é metade da média harmónica de A e B; equivalentemente, os recíprocos de A e B somam ao recíproco de h (a equação óptica). Dado a, b, e h, encontra-se w.

A altura indica a metade da média harmónica, o que significa que

\[{1 \over h} = {{1 \over A} + {1 \over B}}\]

Importantíssima equação que na Teoria dos Números se chama “Equação Óptica” e que é equivalente às Equações Diofantinas, de propriedades filosóficas maravilhosas e às quais dedicaremos um artigo inteiro; e outro aos trios pitagóricos que geraram, por exemplo, o 3, o 4 e o 5, o Triângulo Sagrado Egípcio, associado na sua relação geométrica aos Deuses Osíris, Isis e Hórus. 

Cada média proporcional gera uma série, de onde a média está entre os extremos, por exemplo: 

  • A aritmética 1, 3, 6, 9, 12… onde a razão aritmética é 3; a média aritmética entre 3 e 9, por exemplo, seria o 6. 
  • A geométrica entre 1, 3, 9, 27, 81… em que a razão geométrica é também 3; a média geométrica entre 3 e 27 é 9. 
  • A harmónica . Esta é a série harmónica por excelência, chave dos harmónicos musicais. Quando uma corda vibra, o som resultante é a soma de todos os seus harmónicos, teoricamente ao infinito. 
Vários tipos de séries. / wikipedia

Há outros tipos de séries que se fundamentam em outros tipos de proporções (10, segundo os pitagóricos [6]). Uma importantíssima é a chamada Série de Fibonacci, cuja razão converge, no infinito, no Número de Ouro. Esta série é formada por números inteiros, onde cada termo é a soma dos dois anteriores: 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Chamando Qn ao n termo desta sucessão, cumpre-se

limnQn+1Qn=1,6180339...1+52

Esta série dá o modelo de crescimento harmonioso na Natureza, e estudá-la-emos em vários artigos futuros, pois é o esqueleto formal da vida que se expande.

Imaginemos que subimos uma montanha, a série aritmética dá um crescimento progressivo contínuo.

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

O crescimento ou diminuição de uma série geométrica é exponencial.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Cada termo nesta série é uma potência de 2

2^0=1, 2^1=2, 2^3=8, 2^4=16, etc.

É por exemplo a reprodução de uma bactéria num meio nutritivo ideal e sem dificuldades de nenhum tipo.

O crescimento na série de Fibonacci (1170-1240), é o natural, de facto, na sua primeira formulação, como afirmou este matemático com o famoso problema de reprodução dos coelhos.

Recordemos a Teoria de Malthus, que afirma que os alimentos crescem de forma aritmética, enquanto que o número de habitantes na Terra o faz de forma geométrica (o que não é estritamente certo, mas sim na sua época), o que leva, mais tarde ou mais cedo, a um colapso, como vemos hoje em dia numa Terra sobrecarregada e em sofrimento com 7 mil milhões de seres humanos depravando-a.

Se imaginarmos a subida de uma montanha, a série de Fibonacci seria a subida em que nós, ao mesmo tempo que vamos subindo, vamos crescendo em tamanho e velocidade, como o expressa muito bem a evolução da alma, evolução que se fosse aritmética, a escada far-se-ia psicologicamente infinita, e pensar que é exponencial é pura fantasia.

Quando imaginamos a altura espiritual de um Buda, de um Platão ou de um Confúcio, a sua compreensão, a sua paciência, a sua bondade, o seu sentido de dever, o seu amor incondicional e sentimos onde estamos, é fácil pensar que nunca chegaremos, ou pouco nos aproximaremos da Chama, como quando ao subir a montanha percebemos que não estamos mais perto das estrelas do que antes.

Mas sim, sabemos que quanto mais avançamos maiores serão também as potências da alma, sabemos que a caminhada será cada vez mais rápida e que mais tarde ou mais cedo toda a Humanidade chegará a este estado de abnegação, de PUREZA e SABEDORIA, para desde aí embarcar a caminhos inesperados.

Notas:
[1] Arquitas, filósofo e matemático pitagórico que viveu por volta de 400 a.C., a quem devemos a definição destas três médias.
[2] É curioso, porque se lhe damos os significados que se atribuem a estes números, o que “lemos” é que entre a “Natureza Ideal” (o número 6, número da Justiça e de Osíris) e “o Desconhecido”, o “Deserto e a adversidade” (o 8, número do Deus Seth), está a “Natureza Manifestada” que é a “Virgem do Mundo” (o 7 é Número de Isis, a Natureza, ainda que virgem, fecundada e fecundante)
[3] Ver o detalhe no artigo “O número da Alma do Mundo segundo Timeu de Platão” por Joan Alunirall
[4] Do artigo da Wikipedia em espanhol “Média Aritmética”
[5] E que veremos num próximo capítulo.  
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