Um Retângulo Muito Especial na Matemática Egípcia

No artigo “O Problema 79 do Papiro de Rhind”, desta mesma revista, destacamos um aparente erro que o escriba cometera na soma de uma progressão geométrica de base 7.

Anotou 2301 em vez de 2401 que era o total da soma. E, no entanto, ao fazer a soma fá-la bem, como se não tivesse cometido tal erro.

O genial Schwaller de Lubicz na sua obra “Le Temple de l’homme” explica a possível verdadeira causa deste aparente erro. Diz que é, quiçá, uma forma encriptada de expor um conhecimento sobre proporções e que, no final, o resultado é uma proporção definida, associada a um retângulo muito especial, ao qual queremos dedicar estas notas. Notas que nada adicionam, porque vamos simplesmente abordar e comentar de uma forma muito concisa o que este autor diz de forma críptica (por resumido).

O primeiro temos de fazer é tomar consciência da beleza de certos retângulos. Da beleza estética e, talvez, dos seus significados místicos que na nossa ignorância nos fogem.

Recordemos que toda a proporção define um retângulo, com a relação aritmética de magnitudes que formam essa proporção. Maior ou menor, o retângulo será o “mesmo”, ou seja, semelhante. Perceber a beleza de um retângulo é fazê-lo com a beleza da proporção que lhe dá forma.

O mais conhecido e divino de todos (assim o chama Platão) é o Retângulo de Ouro, definido pela Proporção Áurea.

Ou, se quisermos também, a relação do lado de um decágono e do raio em que está inscrito.

Muito sagrado na antiguidade era também o definido pelo duplo quadrado, cuja diagonal é então a Raiz de 5, núcleo irracional da Proporção Áurea.

Outro, da relação 1-3, vimo-lo no artigo dos alinhamentos de Karnac, originando misteriosamente o triângulo sagrado egípcio 3-4-5.

Outro, de que falaremos noutro artigo, é o chamado “retângulo português” ou “proporção cordovesa”, definido pela relação entre o lado de um octógono e o raio do círculo que o circunda.

Schwaller de Lubicz refere também a importância no Egipto dos retângulos gerados por diferentes números irracionais (como diagonais de duplos, triplos quadrados, etc.) muito utilizados no traçado dos seus templos, como podemos ver aqui num exemplo (extraído do seu livro).

Grande é a beleza deste que vamos agora comentar, e que ele deduz do aparente erro no problema 79 do Papiro de Rhind. Beleza sensível e conceptual. Nasce, pois, de um quadrado de 49 x 49, ou seja, de (7 x 7) x (7 x 7)¹, ao que se extrai uma superfície central quadrada de 100 (10 x 10). E daí resultam os 4 retângulos (na forma da Cruz Geradora, mais simbólico ainda) que estamos a mencionar.

E esta é a diferença/erro do escriba, entre 2401, que é o quadrado de 49; e 2301, em que subtrai o quadrado central e gera assim estes retângulos cuja relação é 29, ½ e 19 ½.

Multiplicando por 2 ambas as magnitudes, pois continua a ser um retângulo semelhante (ou igual, desde a perspetiva simbólica, pois o único que muda é a unidade com que se mede), resulta que este é o retângulo formado pelos números primos 39 x 59.

O que dá uma razão de 0,66101, muito perto, mas não igual, a 2/3, que é 0,666666666…

Na prática pode ser substituída por ela, mas não, não é igual. Como diriam os pitagóricos, estas diferenças são as que fazem andar a Roda do Mundo.

¹ Estar repetido quatro vezes o número 7, neste caso no produto, é de grande importância simbólica, sendo 7 o número que ordena a natureza e o 4 o dos elementos manifestados (Terra, Água, Ar, Fogo). Vincula-o simbolicamente assim, além disso, ao produto do 7 e o 4, que é 28, um número perfeito (soma dos seus divisores)